$3x^2 - 2y^2 = 1998$
Il problema chiede di dimostrare che l'equazione:
$3x^2 -2y^2 = 1998$ non ha soluzioni intere.
Io l'ho impostato così:
effettuando la sostituzione $a = x^2, b = y^2$ ottengo
$3a -2b = 1998$
Cioè un'equazione diofantea.
Essendo $M.C.D.(2,3) = 1 rarr 3-2 = 1 rarr a = 1, b = 1$
e quindi
$3(1) - 2(1) = 1 rarr 3(1998) - 2(1998) = 1998$
ma deve essere
$1998 = x^2 = y^2$
Poichè tutte le soluzioni di un'equazione diofantea si ricavano da quelle basilari ottenute attraverso il procedimento sopra descritto e poichè 1998 non è un quadrato perfetto, allora non esistono soluzioni intere all'equazione di partenza.
Giusto?
$3x^2 -2y^2 = 1998$ non ha soluzioni intere.
Io l'ho impostato così:
effettuando la sostituzione $a = x^2, b = y^2$ ottengo
$3a -2b = 1998$
Cioè un'equazione diofantea.
Essendo $M.C.D.(2,3) = 1 rarr 3-2 = 1 rarr a = 1, b = 1$
e quindi
$3(1) - 2(1) = 1 rarr 3(1998) - 2(1998) = 1998$
ma deve essere
$1998 = x^2 = y^2$
Poichè tutte le soluzioni di un'equazione diofantea si ricavano da quelle basilari ottenute attraverso il procedimento sopra descritto e poichè 1998 non è un quadrato perfetto, allora non esistono soluzioni intere all'equazione di partenza.
Giusto?
Risposte
La soluzione di $3a-2b=1998$ è $a=1998+2n$, $b=1998+3n$, per ogni $n in ZZ$.
Infatti $3*[1998+2n]-2*[1998+3n]=1998$ è sempre verificata.
Ora bisognerebbe dimostrare che non esiste alcun $n in ZZ$
tale che $1998+2n$ e $1998+3n$ sono entrambi quadrati perfetti.
Nota che abbiamo a che fare con $2(n+999)$ e $3(n+666)$
Infatti $3*[1998+2n]-2*[1998+3n]=1998$ è sempre verificata.
Ora bisognerebbe dimostrare che non esiste alcun $n in ZZ$
tale che $1998+2n$ e $1998+3n$ sono entrambi quadrati perfetti.
Nota che abbiamo a che fare con $2(n+999)$ e $3(n+666)$
Io ho ragionato così:
se $2(n+999)$ è un quadrato perfetto allora $n+999$ deve essere multiplo di due, cioè $n$ deve essere dispari.
Un quadrato di un numero pari può finire per $4,6,0$
Poichè deve valere: $2(n+999) = y^2 rarr n+999 = y^2/2$ allora $y^2/2$ avrà come cifra finale una tra $2,3,5,0$
Poichè però $n$ deve essere dispari allora le uniche possibilità valide sono i numeri che finiscono per $1,3$.
I numeri che finiscono per $3$ possono essere scritti come $10m + 3$ con $m in NN$.
Sostituendo nell'equazione $3(n+666) = k^2 rarr 3(10m + 669) = k^2$
Si ha però che $10m + 667$ deve essere multiplo di tre e quindi $m=3s$, sostituendo $3(30s + 669) = 9(10s + 223) = k^2$
Essendo però 9 un quadrato allora lo deve essere anche $10s+223$, ma non esistono quadrati che finiscano per tre, quindi l'ipotesi iniziale non può valere.
Nel caso in cui i numeri siano del tipo $10m + 1$ con $m in NN$ applico sempre lo stesso procedimento:
$3(10m + 667) = k^2$
essendo $667 \equiv 1 mod 3$ dovrà essere $10m \equiv 2 mod 3$ e quindi $m\equiv 2 mod 3$
Quindi $m = 3s + 2$ e perciò $3(10m + 667) = 3(30s + 687) = 9(10s + 229) = k^2$
arrivando a questo punto e bloccandomi perchè non arriva l'assurdo che speravo di trovare (come invece prima è successo :/)
Qualche hint anche per un procedimento completamente diverso?:)
se $2(n+999)$ è un quadrato perfetto allora $n+999$ deve essere multiplo di due, cioè $n$ deve essere dispari.
Un quadrato di un numero pari può finire per $4,6,0$
Poichè deve valere: $2(n+999) = y^2 rarr n+999 = y^2/2$ allora $y^2/2$ avrà come cifra finale una tra $2,3,5,0$
Poichè però $n$ deve essere dispari allora le uniche possibilità valide sono i numeri che finiscono per $1,3$.
I numeri che finiscono per $3$ possono essere scritti come $10m + 3$ con $m in NN$.
Sostituendo nell'equazione $3(n+666) = k^2 rarr 3(10m + 669) = k^2$
Si ha però che $10m + 667$ deve essere multiplo di tre e quindi $m=3s$, sostituendo $3(30s + 669) = 9(10s + 223) = k^2$
Essendo però 9 un quadrato allora lo deve essere anche $10s+223$, ma non esistono quadrati che finiscano per tre, quindi l'ipotesi iniziale non può valere.
Nel caso in cui i numeri siano del tipo $10m + 1$ con $m in NN$ applico sempre lo stesso procedimento:
$3(10m + 667) = k^2$
essendo $667 \equiv 1 mod 3$ dovrà essere $10m \equiv 2 mod 3$ e quindi $m\equiv 2 mod 3$
Quindi $m = 3s + 2$ e perciò $3(10m + 667) = 3(30s + 687) = 9(10s + 229) = k^2$
arrivando a questo punto e bloccandomi perchè non arriva l'assurdo che speravo di trovare (come invece prima è successo :/)
Qualche hint anche per un procedimento completamente diverso?:)
Guarda, non so se si riesca ad arrivare ad un assurdo. Forse è meglio provare qualche altra strada
EDIT: questo svolgimento qui sotto è errato.
Propongo questo svolgimento:
$(x^2, y^2) = (1998 + t, 1998 - t) $
da cui, eliminando il parametro t:
$ x^2 - 1998 = 1998 - y^2 $
$ x^2 + y^2 = 2 * 1998 $ = $ 2 (3 x^2 - 2 y^2)$
$ 5(X^2 - y^2) =0$
$x^2 = y^2 $
$ 2 x^2 = 1998 $
Ma 999 non è un quadrato perfetto...
Propongo questo svolgimento:
$(x^2, y^2) = (1998 + t, 1998 - t) $
da cui, eliminando il parametro t:
$ x^2 - 1998 = 1998 - y^2 $
$ x^2 + y^2 = 2 * 1998 $ = $ 2 (3 x^2 - 2 y^2)$
$ 5(X^2 - y^2) =0$
$x^2 = y^2 $
$ 2 x^2 = 1998 $
Ma 999 non è un quadrato perfetto...
"jitter":
Propongo questo svolgimento:
$(x^2, y^2) = (1998 + t, 1998 - t) $
Scusa perchè hai messo 1998-t? Non si somma da entrambi i membri? O puoi scegliere arbitrariamente?
$ 2 x^2 = 1998 $
Ma 999 non è un quadrato perfetto...
Qui invece non dovrebbe essere: $2x^2 = 2*1998$ o mi sono perso qualcosa io? Grazie per i chiarimenti
"Edex":
Scusa perchè hai messo 1998-t?
Dalla soluzione generale delle equazioni diofantee del tipo $ax + by = n $. Se $ (x_0, y_0)$ è una soluzione particolare (come nel nostro caso è (1998, 1998), la soluzione generale è $ (x_0 + t b/(MCD(a,b)), y_0 + t a /(MCD(a,b)))$ ......... Nooooo, ho sbagliato i coefficienti a e b! Provo a rifarlo usando lo stesso metodo per vedere se concettualmente, almeno, è corretto.
A tra poco
Dopo aver ricorretto il calcolo 300 volte, mi accorgo che il procedimento mi riporta all'equazione iniziale: peccato 
Però sarebbe carino trovare un procedimento che non prenda in considerazione le cifre finali.... ripensiamoci!
[eliminato messaggio seguente perché errato]
Però sarebbe carino trovare un procedimento che non prenda in considerazione le cifre finali.... ripensiamoci!
[eliminato messaggio seguente perché errato]
@jitter io ho provato usando il tuo metodo e mi sembra mi sia venuta... Dimmi se ho sbagliato dove ho sbagliato!
$(x^2,y^2) = (1998-2t, 1198+3t)$
da cui eliminando la t
$(1998-x^2)/2 = (y^2-1998)/3 rarr 3 \cdot 1998 -3x^2 = 2y^2 - 2 \cdot 1998 rarr 3x^2 + 2y^2 = 5 \cdot 1998$
Ora posso impostare il sistema:
${(3x^2-2y^2 = 1998),(3x^2 + 2y^2 = 5 \cdot 1998):}$
da cui,eliminando la x
$1998 + 2y^2 = 5 \cdot 1998 - 2y^2 rarr 4y^2 = 4 \cdot 1998 rarr y^2 = 1998$
ma non 1998 non è un quadrato perfetto.
Giusto?
$(x^2,y^2) = (1998-2t, 1198+3t)$
da cui eliminando la t
$(1998-x^2)/2 = (y^2-1998)/3 rarr 3 \cdot 1998 -3x^2 = 2y^2 - 2 \cdot 1998 rarr 3x^2 + 2y^2 = 5 \cdot 1998$
Ora posso impostare il sistema:
${(3x^2-2y^2 = 1998),(3x^2 + 2y^2 = 5 \cdot 1998):}$
da cui,eliminando la x
$1998 + 2y^2 = 5 \cdot 1998 - 2y^2 rarr 4y^2 = 4 \cdot 1998 rarr y^2 = 1998$
ma non 1998 non è un quadrato perfetto.
Giusto?
Scusa per i pasticci, Edex, ma ho trascritto un segno sbagliato nella formula: l'ho corretto adesso.$(x_0 + t b/(MCD(a,b)), y_0 - t a /(MCD(a,b)))$
Mi stavo chiedendo se, avendo le idee chiare sulle equazioni diofantee, dovrei aspettarmi che si ritorna all'equazione iniziale.
Ieri ho provato ancora a fare l'esercizio con un metodo diverso, ma non ci son riuscita. Se hai idee fai sapere!
Mi stavo chiedendo se, avendo le idee chiare sulle equazioni diofantee, dovrei aspettarmi che si ritorna all'equazione iniziale.
Ieri ho provato ancora a fare l'esercizio con un metodo diverso, ma non ci son riuscita. Se hai idee fai sapere!
Supponiamo per assurdo che $EE x,y in ZZ$ tali che $3x^2-2y^2=1998$.
Allora $x$ e $y$ sono entrambi multipli di $3$ (esercizio)
Quindi ${(x=3 barx),(y=3bary):}$, per cui (sostituendo e dividendo per $9$) si ha $3barx^2-2bary^2=222$.
Deve essere ${(barx=2a),(bary=3b):}$, quindi si ha (dividendo per $6$) $2a^2-3b^2=37$.
Ma $2a^2-3b^2=37$ non ha soluzioni intere (vedi sotto), da cui l'assurdo.
$2x-3y=37<=> {(x= 3n-37=3(n-13)+2),(y=2n-37):}$ e non si può avere $a^2-=2 (mod 3)$
Allora $x$ e $y$ sono entrambi multipli di $3$ (esercizio)
Quindi ${(x=3 barx),(y=3bary):}$, per cui (sostituendo e dividendo per $9$) si ha $3barx^2-2bary^2=222$.
Deve essere ${(barx=2a),(bary=3b):}$, quindi si ha (dividendo per $6$) $2a^2-3b^2=37$.
Ma $2a^2-3b^2=37$ non ha soluzioni intere (vedi sotto), da cui l'assurdo.
$2x-3y=37<=> {(x= 3n-37=3(n-13)+2),(y=2n-37):}$ e non si può avere $a^2-=2 (mod 3)$
"Gi8":
Deve essere $ {(barx=2a),(bary=3b):} $
Scusa la domanda magari banale, ma da cosa lo deduci questo?
Si ha $3barx^2=2bary^2+222$. Il secondo membro è pari, quindi anche $3barx^2$ lo deve essere, quindi $barx$ deve essere pari.
Ragionando in modo analogo ottieni che deve valere $bary$ multiplo di $3$
Ragionando in modo analogo ottieni che deve valere $bary$ multiplo di $3$
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