3 piccoli esercizi di aritmetica. Mi serve una mano..
Ciao a tutti.. 
Ho bisogno di una mano per la risoluzione di 3 esercizietti di aritmetica dei quali non sono molto convinto.
Li scrivo e vi dico che cosa ne ho capito io:
1) Per quali valori di $[a]_(9) in ZZ_(9)$ l'equazione $[a]_(9)[x]_(9) + [3]_(9) = [0]_(9)$?
Dunque, innanzitutto premetto che siamo in $ZZ_(9)$ così non c'ho da scriverlo ogni volta. Essendo in $ZZ$ i valori devono essere interi. Quindi ho pensato che questa cosa funziona quando $[x] = - [3]/[a]$ è intero, e questo succede solo quando [a] è uguale a [1] oppure a [3], e quindi sarebbe in $ZZ_(9)$ [a]=6,8. Per quello che sò io quest'esercizio finirebbe qua, e non so neanche se quello che ho detto può essere considerato corretto, ma sò che c'è anche da considerare in qualche modo l'invertibilità di [a] in $ZZ_(9)$. Gli elementi invertibili in $ZZ_(9)$ sono ${1,2,4,5,7,8}$. Quindi ora cosa dovrei fare?
2) Trovare tutti i valori di $n in NN$ tali che $2^n >= n^2 + n$.
Qua sò che và usata l'induzione ma non ne ho cavato un granchè.
Ho ragionato così. Suppongo vera la tesi che sarebbe appunto la traccia. Allora faccio il passo base, cioè provo a vedere se è valida per $n=0$ o $n=1$. Ed è vera.
Allora faccio il passo induttivo. Cioè $2^(n+1) >= (n+1)^2 + n + 1$, cioè $2^(n+1) >= n^2 + 3n + 2$. E arrivato qui cosa faccio? Questa cosa è verificata per $n=0$ e poi non è verificata per $n=1,2,3,4,5$ per poi diventare di nuovo vera per $n in [6,oo]$. Che cosa posso dedurne? Non so come concludere.. (se ho concluso qualcosa)..
3) Provare che se $n$ è un intero multiplo di $3$ allora $(n+1)^3 - 1$ è un multiplo intero di $9$.
Dunque qui scompongo la traccia e trovo $n^3 + 3n^2 +3n = 9h$. Ho posto uguale a $9h$ perchè comunque so che deve essere un multiplo di nove quindi quell'uguaglianza deve essere vera per ogni $h$.
Ora il punto è che io non so come dimostrare questo fatto, ma sò che ogni potenza di un multiplo di 3 è un multiplo di 9, e lo stesso per ogni multiplo di 3 moltiplicato per 3, per cui sommando quei 3 elementi che sono tutti multipli di 9 ottengo ancora un multiplo di 9. Quindi esisterà di certo un $h in ZZ$ che soddisfa quell'equazione. Ma come posso ragione formalmente per risolvere l'esercizio? (alla fine del quale poi devo anche scrivere formalmente in formule la soluzione che ho trovato usando solo simbologia).
Spero possiate aiutarmi entro questa sera, gli esercizi non penso siano per niente difficili, sono io che sono un pò duro di comprendonio e queste cose invece dovrei averle assimilate da un pezzo.
Grazie a chi mi risponderà!!
Ciao!!
Ho bisogno di una mano per la risoluzione di 3 esercizietti di aritmetica dei quali non sono molto convinto.
Li scrivo e vi dico che cosa ne ho capito io:
1) Per quali valori di $[a]_(9) in ZZ_(9)$ l'equazione $[a]_(9)[x]_(9) + [3]_(9) = [0]_(9)$?
Dunque, innanzitutto premetto che siamo in $ZZ_(9)$ così non c'ho da scriverlo ogni volta. Essendo in $ZZ$ i valori devono essere interi. Quindi ho pensato che questa cosa funziona quando $[x] = - [3]/[a]$ è intero, e questo succede solo quando [a] è uguale a [1] oppure a [3], e quindi sarebbe in $ZZ_(9)$ [a]=6,8. Per quello che sò io quest'esercizio finirebbe qua, e non so neanche se quello che ho detto può essere considerato corretto, ma sò che c'è anche da considerare in qualche modo l'invertibilità di [a] in $ZZ_(9)$. Gli elementi invertibili in $ZZ_(9)$ sono ${1,2,4,5,7,8}$. Quindi ora cosa dovrei fare?
2) Trovare tutti i valori di $n in NN$ tali che $2^n >= n^2 + n$.
Qua sò che và usata l'induzione ma non ne ho cavato un granchè.
Ho ragionato così. Suppongo vera la tesi che sarebbe appunto la traccia. Allora faccio il passo base, cioè provo a vedere se è valida per $n=0$ o $n=1$. Ed è vera.
Allora faccio il passo induttivo. Cioè $2^(n+1) >= (n+1)^2 + n + 1$, cioè $2^(n+1) >= n^2 + 3n + 2$. E arrivato qui cosa faccio? Questa cosa è verificata per $n=0$ e poi non è verificata per $n=1,2,3,4,5$ per poi diventare di nuovo vera per $n in [6,oo]$. Che cosa posso dedurne? Non so come concludere.. (se ho concluso qualcosa)..
3) Provare che se $n$ è un intero multiplo di $3$ allora $(n+1)^3 - 1$ è un multiplo intero di $9$.
Dunque qui scompongo la traccia e trovo $n^3 + 3n^2 +3n = 9h$. Ho posto uguale a $9h$ perchè comunque so che deve essere un multiplo di nove quindi quell'uguaglianza deve essere vera per ogni $h$.
Ora il punto è che io non so come dimostrare questo fatto, ma sò che ogni potenza di un multiplo di 3 è un multiplo di 9, e lo stesso per ogni multiplo di 3 moltiplicato per 3, per cui sommando quei 3 elementi che sono tutti multipli di 9 ottengo ancora un multiplo di 9. Quindi esisterà di certo un $h in ZZ$ che soddisfa quell'equazione. Ma come posso ragione formalmente per risolvere l'esercizio? (alla fine del quale poi devo anche scrivere formalmente in formule la soluzione che ho trovato usando solo simbologia).
Spero possiate aiutarmi entro questa sera, gli esercizi non penso siano per niente difficili, sono io che sono un pò duro di comprendonio e queste cose invece dovrei averle assimilate da un pezzo.
Grazie a chi mi risponderà!!
Ciao!!
Risposte
scusami, ma ora non ho la calma per studiare attentamente i primi due.
per il terzo, basta mettere in evidenza n. infatti: $n(n^2+3n+3)$ contiene almeno due volte il fattore 3 se n è multiplo di 3.
ciao.
per il terzo, basta mettere in evidenza n. infatti: $n(n^2+3n+3)$ contiene almeno due volte il fattore 3 se n è multiplo di 3.
ciao.
ciao... allora per quanto riguarda il primo devi semplicemente trovare gli $a$ che ammettono un inverso in $ZZ_9$ e sono quelli da te scritti.
per il secondo hai applicato male l'induzione allora cominciamo bene:
ovviamente per $n=0,1$ è banalmente vera
SI VUOLE DIMOSTRARE che $2^{n+1}\geq (n+1)^2+n+1$. non sai se è vero ma lo devi dimostrare.
ora supponendo vera per un certo $n$ cioè è vero che
1) $2^n\geq n^2 +n$ (ipotesi induttiva)
$(n+1)^2 +n+1=n^2+3n+2=n^2+n+2n+2$. ora $n^2+n\leq 2^n$ per 1) dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n +2(n+1)$ adesso poichè $n>= 2$ si ha che $2(n+1)\leq n(n+1)$
dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n+n(n+1)\leq 2^n +2^n$ dove qui ho applicato di nuovo 1)
e dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n +2^n=2* 2^n=2^{n+1}$ quello che dovevamo dimostrare
per il secondo hai applicato male l'induzione allora cominciamo bene:
ovviamente per $n=0,1$ è banalmente vera
SI VUOLE DIMOSTRARE che $2^{n+1}\geq (n+1)^2+n+1$. non sai se è vero ma lo devi dimostrare.
ora supponendo vera per un certo $n$ cioè è vero che
1) $2^n\geq n^2 +n$ (ipotesi induttiva)
$(n+1)^2 +n+1=n^2+3n+2=n^2+n+2n+2$. ora $n^2+n\leq 2^n$ per 1) dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n +2(n+1)$ adesso poichè $n>= 2$ si ha che $2(n+1)\leq n(n+1)$
dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n+n(n+1)\leq 2^n +2^n$ dove qui ho applicato di nuovo 1)
e dunque
$(n+1)^2 +n+1\leq 2^n +2^n=2* 2^n=2^{n+1}$ quello che dovevamo dimostrare
Prendi il secondo.
Intanto noti che è valida se $n$ vale $1$ o $0$.
Beh, però non vale per 2,3 e 4.
Quindi arriviamo al caso $n=5$, valida, e dimostriamo che la disuguaglianza è vera per $n=>5$ e per i casi isolati $n=1$, $n=0$.
Supposto vero che
$2^n>=n^2+n$ (1)
vediamo
$2^(n+1)>=(n+1)^2+(n+1)$ (2)
La (2) equivale a
$2^n>=frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Ora, se riuscissimo a dimostrare che il secondo membro della (1) è maggiore del secondo membro della (2), abbiamo finito.
Infatti si avrebbe
$2^(n+1)>=(n+1)^2+(n+1)>frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
(la prima disuguaglianza è l'ipotesi induttiva, la seconda la dimostriamo)
ovvero
$2^n>=frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Ora vedi un po' tu di risolvere
$(n+1)^2+(n+1)>frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Se è soddisfatta per tutti i valori maggiori o uguali a $5$ (è così, vedrai), allora sei a posto.
Ciao!
Intanto noti che è valida se $n$ vale $1$ o $0$.
Beh, però non vale per 2,3 e 4.
Quindi arriviamo al caso $n=5$, valida, e dimostriamo che la disuguaglianza è vera per $n=>5$ e per i casi isolati $n=1$, $n=0$.
Supposto vero che
$2^n>=n^2+n$ (1)
vediamo
$2^(n+1)>=(n+1)^2+(n+1)$ (2)
La (2) equivale a
$2^n>=frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Ora, se riuscissimo a dimostrare che il secondo membro della (1) è maggiore del secondo membro della (2), abbiamo finito.
Infatti si avrebbe
$2^(n+1)>=(n+1)^2+(n+1)>frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
(la prima disuguaglianza è l'ipotesi induttiva, la seconda la dimostriamo)
ovvero
$2^n>=frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Ora vedi un po' tu di risolvere
$(n+1)^2+(n+1)>frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}$
Se è soddisfatta per tutti i valori maggiori o uguali a $5$ (è così, vedrai), allora sei a posto.
Ciao!
"miuemia":
ciao... allora per quanto riguarda il primo devi semplicemente trovare gli $a$ che ammettono un inverso in $ZZ_9$ e sono quelli da te scritti.
Forse sbaglio, ma $ax=6 (mod 9)$ è risolubile se e solo se $MCD(a,9)|6$, e questo è vero per ogni valore di $a$ a parte $[0]_9$.
Per il secondo io farei così:
Come ha giustamente osservato Steven, la tesi è vera per 0, 1 e da 5 in su (almeno così sembrreebbe) . Vediamo di dimostrarlo:
Sappiamo che $2^n>=n^2+n$ per ipotesi induttiva, quindi $2*2^n=2^(n+1)>=2(n^2+n)=2n^2+2n$. Se quest'ultimo membro fosse maggiore uguale di $(n+1)^2+n+1=n^2+3n+2$ avremmo finito.
Ma infatti $2n^2+2n>=n^2+3n+2$ $<=>$ $n^2>=n+2$, che è banalmente vero già da $n=2$ (oppure potremmo dimostrare questa disuguaglianza per induzione in paio di righe)
per il terzo hai: $(n+1)^3-1$=$n^3+3n^2+3n+1-1=n^3+3n^2+3n$. Poichè n è multiplo di tre,lo si può scrivere come: $n=(3k)$. Da cui,sostituendo,hai $27k^3+27k^2+9k$ che è multiplo di nove.
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