$2^n=7*x^2+y^2$

[Lord K]

Riporto un problemino interessante proveniente da altro forum ma a mio parere molto bello e denso di interesse:

Dato $n in NN$ dimostrare che $EE x,y in NN: 2^n=7*x^2+y^2$

[adaBTTLS1]

sei sicuro del testo? che mi dici di n=1?

[krek1]

per qualunque n esiste una coppia x y ?
per n>=m ?

[Lord K]

"adaBTTLS":sei sicuro del testo? che mi dici di n=1?

Mi sono dimenticato... $n>2, n in NN$

[krek1]

comunque la prima soluzione abbastanza banale per
$n=3$ ho $y=1$ e $x=1$

Poi mi sembra che se si arriva a qualche conclusione si ragiona su potenze pari e dispari e multipli di $7^m = 2^n-1$
o per induzione ecc...

("mi scuso per la non soluzione che ho dato")

[Lord K]

1) Alcune osservazioni preliminari forse utili:

Sia $n>3$ allora dovremmo avere $n=3*lambda+r_3$ con $r_3 in {0,1,2}$:

$2^n=7*sum_(k=0)^lambda [2^(n-3k-2)-2^(n-3k-3)] + 2^(r_3)$

ovvero:

$2^n=7*sum_(k=0)^lambda 1/(2^(3k))[2^(n-2)-2^(n-3)] + 2^(r_3)$

$2^n=7*[2^(n-2)-2^(n-3)]sum_(k=0)^lambda 1/(2^(3k)) + 2^(r_3)$

$2^n=7*2^(n-3)sum_(k=0)^lambda 1/(2^(3k)) + 2^(r_3)$

$2^n=7*2^(n-3)sum_(k=0)^lambda (1/8)^k + 2^(r_3)$

$2^n=7*2^(n-3) *((1/8)^(lambda+1)-1)/(1/8-1) + 2^(r_3)$

che alla fine porta a:

$2^n=7*2^(n-3)*[(8^(lambda+1)-1)/(7*8^lambda)] + 2^(r_3)$

Ho modificato molte volte il post per renderlo il più leggibile possibile.

[Lord K]

Sono perplesso su questo risultato... se osservate nel caso in cui $n \equiv 0(3)$.. ma il calcolo di divisione tra il polinomio $x^n$ e $x^2+x+1$ è corretto... poi ho sostituito $x=2$

[krek1]

io mi son posto il problema in tutti altri termini

per ora ho dimostrato che la coppia esiste per tutti i valori dispari di n.

$2^n=7x^2+y^2$

ho posto $y=x$

$2^n=8x^2$

etc...

$x=2^((n-3)/2)$

ora vedo per n pari....

[Steven11]

"krek":

ora vedo per n pari....

Per $n$ pari potresti porre $y=3x$ $=>y^2=9x^2$ da cui
$2^n=7x^2+9x^2=16x^2$ da cui
$2^(n-4)=x^2$ ovvero $x=2^((n-4)/2)$ e $y=3*2^((n-4)/2)$

[krek1]

Vero, non m'era proprio venuto in mente...

Fine

[Lord K]

Meglio potrebbe essere, seguendo il vostro ragionamento porre:

$sy=tx$ con $gcd(t,s)=1$

da cui ottengo:

$2^n=7x^2+[(t/s)x]^2$

da cui:

$2^n*s^2 = 7s^2x^2 + t^2x^2$
$2^n*s^2 = (7s^2 + t^2)x^2$

ovviamente:

$x=[2^(n/2)*s]/(7s^2+t^2)^(1/2)$ se $n$ è pari.

$x=[2^((n-1)/2)*s]/(7/2s^2+1/2t^2)^(1/2)$ se $n$ è dispari.

Tutto starebbe a valutare l'equazione:

$7s^2+t^2=k^2$
$gcd(s,t)=1$

ed anche:

$7s^2+t^2=2k^2$
$gcd(s,t)=1$

[Lord K]

Mi occupo della prima:

$7x^2+y^2=z^2$

con:

$gcd(y,x)=1$

allora:

$7x^2=(z+y)(z-y)$

da cui di certo ho che $gcd(z-y,z+y)=1$

(I)$7|z-y$ oppure (II)$7|z+y$

Caso (I):

$x^2=(z+y)(z-y)/7$

nel qual caso:

${(z+y=a^2),((z-y)/7=b^2):}$

ovvero:

${(y=(a^2-7b^2)/2),(z=(a^2+7b^2)/2):}$

conseguentemente:

$x=ab$

Caso (II):

$x^2=(z+y)/7(z-y)$

nel qual caso:

${((z+y)/7=a^2),(z-y=b^2):}$

ovvero:

${(y=(7a^2-b^2)/2),(z=(7a^2+b^2)/2):}$

conseguentemente:

$x=ab$

[fedeb2]

in realtà c'è una imprecisione sul testo: gli x e y devono essere dispari non interi qualunque senno è banale...
hint: fate i primi casi a mano oppure diretti in Mne