2 Esercizi per preparazione esame Matematica Discreta
Ciao a tutti! Scusate il disturbo, ma sto preparando l'esame di mate discreta e ho problemi con due esercizi...magari potete aiutarmi!
Sia R un anello, e sia a $in$ R. Consideriamo la funzione $f_a:R[x] rarr R$ data dalla
valutazione di p appartenente a R[x] in $a: f_a(p) = p(a)$, $AAp in R[x]$. Dimostrare che $f_a$ è un
omomorfismo di anelli.
Allora..io so che l'applicazione prende un polinomio in a e restituisce un elemento dell'anello.
Devo dimostrare che tale applicazione è un omomofrismo di anelli, cioè che conserva addizione e moltiplicazione rispetto all'anello:
$f(a + b) = f(a) + f(b)$ e $f(ab) = f(a) f(b)$
E poi??
il 2:
Trovare un polinomio $q(x)$ a coefficienti in $ZZ/6$ tale che $q(x)$ induca la stessa funzione
di $p(x) = [3]_6x + [4]_6x^3$ ma non sia uguale a p(x) come polinomio.
Allora...in questo ho iniziato provando a sostituire al posto di x gli elementi di $ZZ/6$, e mi viene così:
sostituendo 1 (ometto le parentesi, scusate) risulta 1,
con 2 modulo 6 viene 2 modulo 6,
con 3 modulo 6 viene 3 modulo 6
e la stessa cosa oper 4 e 5 (sempre modulo 6, ovviamente)
Ho pensato una cosa...ma magari è una cavolata mostruosa...se faccio
$q(x) = x * 1$ (intendo sempre 1 modulo 6, non riesco a scriverlo)
Grazie a tutti.
Ciao
L
Sia R un anello, e sia a $in$ R. Consideriamo la funzione $f_a:R[x] rarr R$ data dalla
valutazione di p appartenente a R[x] in $a: f_a(p) = p(a)$, $AAp in R[x]$. Dimostrare che $f_a$ è un
omomorfismo di anelli.
Allora..io so che l'applicazione prende un polinomio in a e restituisce un elemento dell'anello.
Devo dimostrare che tale applicazione è un omomofrismo di anelli, cioè che conserva addizione e moltiplicazione rispetto all'anello:
$f(a + b) = f(a) + f(b)$ e $f(ab) = f(a) f(b)$
E poi??
il 2:
Trovare un polinomio $q(x)$ a coefficienti in $ZZ/6$ tale che $q(x)$ induca la stessa funzione
di $p(x) = [3]_6x + [4]_6x^3$ ma non sia uguale a p(x) come polinomio.
Allora...in questo ho iniziato provando a sostituire al posto di x gli elementi di $ZZ/6$, e mi viene così:
sostituendo 1 (ometto le parentesi, scusate) risulta 1,
con 2 modulo 6 viene 2 modulo 6,
con 3 modulo 6 viene 3 modulo 6
e la stessa cosa oper 4 e 5 (sempre modulo 6, ovviamente)
Ho pensato una cosa...ma magari è una cavolata mostruosa...se faccio
$q(x) = x * 1$ (intendo sempre 1 modulo 6, non riesco a scriverlo)
Grazie a tutti.
Ciao
L
Risposte
"lewis":
Ciao a tutti! Scusate il disturbo, ma sto preparando l'esame di mate discreta e ho problemi con due esercizi...magari potete aiutarmi!
Sia R un anello, e sia a $in$ R. Consideriamo la funzione $f_a:R[x] rarr R$ data dalla
valutazione di p appartenente a R[x] in $a: f_a(p) = p(a)$, $AAp in R[x]$. Dimostrare che $f_a$ è un
omomorfismo di anelli.
Allora..io so che l'applicazione prende un polinomio in a e restituisce un elemento dell'anello.
Devo dimostrare che tale applicazione è un omomofrismo di anelli, cioè che conserva addizione e moltiplicazione rispetto all'anello:
$f(a + b) = f(a) + f(b)$ e $f(ab) = f(a) f(b)$
E poi??
Non è l'unica verifica da fare... ti mancano le verifiche degli elementi neutri:
[tex]f(1_{R[x]})=1_R[/tex]
[tex]f(0_{R[x]})=0_R[/tex]
In sostanza gli omomorfismi devono mantenere la struttura!
il 2:
Trovare un polinomio $q(x)$ a coefficienti in $ZZ_6$ tale che $q(x)$ induca la stessa funzione
di $p(x) = [3]_6x + [4]_6x^3$ ma non sia uguale a p(x) come polinomio.
Allora...in questo ho iniziato provando a sostituire al posto di x gli elementi di $ZZ/6$, e mi viene così:
sostituendo 1 (ometto le parentesi, scusate) risulta 1,
con 2 modulo 6 viene 2 modulo 6,
con 3 modulo 6 viene 3 modulo 6
e la stessa cosa oper 4 e 5 (sempre modulo 6, ovviamente)
Ho pensato una cosa...ma magari è una cavolata mostruosa...se faccio
$q(x) = x * 1$ (intendo sempre 1 modulo 6, non riesco a scriverlo)
Non è una cavolata, ma il risultato del problema
la cosa interessante è chiederti come mai vengano uguali 
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