2 domande sulla teoria dei gruppi

[stelladinatale1]

Salve a tutti!
Ho due domande da fare:
1) Sto studiando il seguente teorema:
Se $G$ è un gruppo tale che $|G|=p^n$ (dove $p$ è un numero primo) allora $G$ è un gruppo nilpotente di classe al più $n-1$

Nella dimostrazione di questo teorema ho costruito la serie centrale ascendente di $G$
$1 Sono arrivata a dimostrare che $\frac{Z_{n-1}}{Z_{n-2}}=\frac{G}{Z_{n-2}}$, ma non capisco l'ultimo passaggio del teorema cioè il perchè questo ultimo fatto mi implica che $Z_{n-1}=G$.
Qulcuno me lo sa spiegare?

2) Un altro teorema:
Se $G$ è un gruppo finito e nilpotente allora $G$ è prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow.

Nella dimostrazione si fa vedere che comunque scelgo un numero primo $p$ che divide $|G|$ e scelgo $S\in Syl_p(G)$ ho che questo $S$ è unico in $Syl_p(G)$e quindi è normale in $G$.
Allora so che (detti $p_1, p_2, \ldots p_k$ tutti i primi che compaiono in $|G|$) il prodotto dei sottogruppi di Sylow $S_{p_1}S_{p_2}\ldotsS_{p_k}$ è un sottogruppo di $G$ (perchè sono tutti normali, quindi vale il teorema dei sottogruppi).
Quello che non capisco è perchè coincide proprio con $G$.
Sugli appunti ho scritto per il teorema di Lagrange, ma non riesco a capire il perchè.
Qualcuno mi sa aiutare?

Grazie a tutti

[Gi81]

"stelladinatale":1) Sto studiando il seguente teorema:
Se $G$ è un gruppo tale che $|G|=p^n$ (dove $p$ è un numero primo) allora $G$ è un gruppo nilpotente di classe al più $n-1$

Nella dimostrazione di questo teorema ho costruito la serie centrale ascendente di $G$
$1 Sono arrivata a dimostrare che $\frac{Z_{n-1}}{Z_{n-2}}=\frac{G}{Z_{n-2}}$, ma non capisco l'ultimo passaggio del teorema cioè il perchè questo ultimo fatto mi implica che $Z_{n-1}=G$.
Qulcuno me lo sa spiegare?

Beh, Certamente $Z_(n-1) sube G$, e dato che $\frac{Z_{n-1}}{Z_{n-2}}=\frac{G}{Z_{n-2}}$, allora $|Z_{n-1}|= |G|$

[perplesso1]

"stelladinatale":Quello che non capisco è perchè coincide proprio con G.

Ogni sottogruppo normale $S_{p_i}$ interseca banalmente il prodotto degli altri (è ovvio dato che i primi $p_1,...,p_k$ sono distinti) quindi per la formula del prodotto $|S_{p_1}S_{p_2}...S_{p_k}|=|S_{p_1}|*|S_{p_2}|*...*|S_{p_k}| = p_1^{n_1}*p_2^{n_2}*...*p_k^{n_k} = |G|$ ovvero $G= S_{p_1}S_{p_2}...S_{p_k}$ .

[stelladinatale1]

Ringrazio entrambi per la risposta.
Ho capito!
Solo sulla seconda parte aggiungo che $|S_{p_i}|$ è uguale alla potenza di $p_i$ che divide $|G|$, comuque ho capito perfettamente il ragionamento!
Grazie mille a entrambi!

[perplesso1]

"stelladinatale":Solo sulla seconda parte aggiungo che $|S_{p_i}|$ è uguale alla potenza di $p_i$ che divide $|G|$

è vero scusa, una svista.