$1+2^2+3^3+...+n^n$
Esiste una formula compatta per [tex]S = \sum_{i=1}^n i^i = 1+2^2+3^3+ \dots +n^n[/tex] ?
[tex]\hline[/tex]
Quello che è certo è che [tex]n^n \leq S \leq n^{n+1}[/tex]. Poi se uno divide per [tex]n^n[/tex] ottiene [tex]1 \leq \dfrac{n^n + (n-1)^{n-1} + (n-2)^{n-2} + \dots + 1}{n^n} \leq n[/tex].
Sviluppando il termine al centro si ottiene [tex]1 + \dfrac{1}{n} \left(1 - \dfrac{1}{n} \right)^{n-1} + \dfrac{1}{n^2} \left(1-\dfrac{2}{n} \right)^{n-2} + \dfrac{1}{n^3} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-3}+\dots[/tex].
(I vari termini [tex]\left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^{n-k}[/tex] sembrano tendere ad [tex]e[/tex], e [tex]2 \leq e \leq 3 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{e} \leq \dfrac{1}{2}[/tex]). Allora per [tex]n>4[/tex] (credo) di poter impostare la disuguaglianza [tex]1+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{4n^2}+\dfrac{1}{8n^3} + \dots \leq \dfrac{S}{n^n} \leq 1 + \dfrac{1}{3n} + \dfrac{1}{9n^2} + \dfrac{1}{27n^2} + \dots[/tex].
Uno può osservare che per [tex]n[/tex] grande le due serie dovrebbero tendere a [tex]1[/tex], e quindi [tex]S[/tex] dovrebbe tendere a [tex]n^n[/tex]; ma non so quanto tutto questo possa essere utile per trovare una formula che valga [tex]\forall n[/tex]...
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Quello che è certo è che [tex]n^n \leq S \leq n^{n+1}[/tex]. Poi se uno divide per [tex]n^n[/tex] ottiene [tex]1 \leq \dfrac{n^n + (n-1)^{n-1} + (n-2)^{n-2} + \dots + 1}{n^n} \leq n[/tex].
Sviluppando il termine al centro si ottiene [tex]1 + \dfrac{1}{n} \left(1 - \dfrac{1}{n} \right)^{n-1} + \dfrac{1}{n^2} \left(1-\dfrac{2}{n} \right)^{n-2} + \dfrac{1}{n^3} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-3}+\dots[/tex].
(I vari termini [tex]\left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^{n-k}[/tex] sembrano tendere ad [tex]e[/tex], e [tex]2 \leq e \leq 3 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{e} \leq \dfrac{1}{2}[/tex]). Allora per [tex]n>4[/tex] (credo) di poter impostare la disuguaglianza [tex]1+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{4n^2}+\dfrac{1}{8n^3} + \dots \leq \dfrac{S}{n^n} \leq 1 + \dfrac{1}{3n} + \dfrac{1}{9n^2} + \dfrac{1}{27n^2} + \dots[/tex].
Uno può osservare che per [tex]n[/tex] grande le due serie dovrebbero tendere a [tex]1[/tex], e quindi [tex]S[/tex] dovrebbe tendere a [tex]n^n[/tex]; ma non so quanto tutto questo possa essere utile per trovare una formula che valga [tex]\forall n[/tex]...
Risposte
Ho l'impressione che vi siano problemi di analisi matematica.
Se il tuo intento è quello di mostrare che [tex]$S_n:= \sum_{k=1}^n k^k[/tex] è asintotica a [tex]n^n[/tex], beh, hai scelto una strada abbastanza tortuosa.
Perchè non usiamo il teorema di Cesàro?
[tex]$\lim_{n\to \infty} \frac{S_n}{n^n} = \lim_{n\to \infty}\frac{S_{n+1}- S_n}{(n+1)^{n+1}- n^n}[/tex]
Ora:
[tex]$S_{n+1}-S_n = (n+1)^{n+1}\implies \lim_{n\to \infty}\frac{S_{n+1}- S_n}{(n+1)^{n+1}- n^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}- n^n}=1[/tex].
Ad ogni modo questo non ci dice nulla sull'espressione generale di [tex]S_n[/tex]...
Se il tuo intento è quello di mostrare che [tex]$S_n:= \sum_{k=1}^n k^k[/tex] è asintotica a [tex]n^n[/tex], beh, hai scelto una strada abbastanza tortuosa.
Perchè non usiamo il teorema di Cesàro?
[tex]$\lim_{n\to \infty} \frac{S_n}{n^n} = \lim_{n\to \infty}\frac{S_{n+1}- S_n}{(n+1)^{n+1}- n^n}[/tex]
Ora:
[tex]$S_{n+1}-S_n = (n+1)^{n+1}\implies \lim_{n\to \infty}\frac{S_{n+1}- S_n}{(n+1)^{n+1}- n^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}- n^n}=1[/tex].
Ad ogni modo questo non ci dice nulla sull'espressione generale di [tex]S_n[/tex]...
Se devo essere sincero, dubito fortemente che esista una formula chiusa elementare per quella somma.
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