1 è un numero primo ?
Credo la risposta sia no, ricordo che questo quesito fu trattato molte volte ma non riesco a ritrovarlo.
Sono interessato anche al perchè
Grazie
Sono interessato anche al perchè
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Risposte
Lo si esclude per definizione.
Un numero non nullo $p in ZZ$ che non sia invertibile si dice primo se ogni qual volta divide un prodotto $ab$ divide o $a$ o $b$
Un numero non nullo $p in ZZ$ che non sia invertibile si dice primo se ogni qual volta divide un prodotto $ab$ divide o $a$ o $b$
Dire che lo si esclude per definizione non risponde alla domanda: penso che Camillo chiedesse proprio come mai lo si toglie per definizione. I motivi sono tanti, ad esempio i metodi di crivello per la determinazione teorica di tutti i numeri primi cadono se 1 fosse primo (il crivello di Eratostene cancellerebbe tutti i numeri per esempio) o ancora la fattorizzazione in primi non sarebbe più unica (infatti 1 potrebbe essere elevato ad un esponente qualunque).
E' un pò come dire che 1 è primo,ma non lo consideriamo tale !
Io ricordo che la giustificazione che mi fu data è che si esclude perché è l'unico elemento che ha inverso rispetto al prodotto in $ZZ$ (anche se non capisco il motivo di tale criterio).
Seneca la motivazione che citi è la stessa che porta Luca.Lussardi.
In un dominio che ammetta fattorizzazione unica, questa è unica sempre a meno di elementi invertibili.
Se 1 lo considerassimo primo, formalmente una scomposizione in fattori primi non sarebbe unica, perchè 1 potrebbe comparire un qualsiasi numero di volte.
Un' "altra" motivazione è il fatto che se 1 lo considerassimo primo la maggior parte dei teoremi che ora comincia con "sia p un numero primo" dovrebbe cominciare con "sia p un numero primo diverso da 1"
In un dominio che ammetta fattorizzazione unica, questa è unica sempre a meno di elementi invertibili.
Se 1 lo considerassimo primo, formalmente una scomposizione in fattori primi non sarebbe unica, perchè 1 potrebbe comparire un qualsiasi numero di volte.
Un' "altra" motivazione è il fatto che se 1 lo considerassimo primo la maggior parte dei teoremi che ora comincia con "sia p un numero primo" dovrebbe cominciare con "sia p un numero primo diverso da 1"
Salve,
nel passato 1 era considerato numero primo poichè compariva nelle opere di Lehmer, ma nel corso del tempo si preferì scartarlo in quanto la sua presenza nella categoria dei primi comportava molte complicazioni a vari livelli. Condivido pienamente le precedenti osservazioni aggiungendo anche che se 1 fosse primo sarebbe particolarmente difficile automatizzare la ricerca dei primi in un intervallo del tipo [0;n] tramite un calcolatore ed un linguaggio di programmazione specifico, ovvero risulterebbe difficile trovare un adeguato algoritmo.
cordiali saluti
nel passato 1 era considerato numero primo poichè compariva nelle opere di Lehmer, ma nel corso del tempo si preferì scartarlo in quanto la sua presenza nella categoria dei primi comportava molte complicazioni a vari livelli. Condivido pienamente le precedenti osservazioni aggiungendo anche che se 1 fosse primo sarebbe particolarmente difficile automatizzare la ricerca dei primi in un intervallo del tipo [0;n] tramite un calcolatore ed un linguaggio di programmazione specifico, ovvero risulterebbe difficile trovare un adeguato algoritmo.
cordiali saluti
no perché per definizione i numeri primi sono divisibili per 1 e per se stessi e l'1 è divisibile solo per se stesso
"simo90":Ma anche per $1$
no perché per definizione i numeri primi sono divisibili per 1 e per se stessi e l'1 è divisibile solo per se stesso
ma 1 e se stesso sono la stessa cosa
"simo90":
no perché per definizione i numeri primi sono divisibili per 1 e per se stessi e l'1 è divisibile solo per se stesso
Questa non è la definizione di primo! Non quella formale almeno.
formalmente 1 sarebbe considerabile come primo (se ammettiamo che un numero è primo se gli unici suoi divisori positivi sono quelli banali-cioè 1 e il numero stesso,che nel caso specifico verrebbero a coincidere): per le motivi esplicitate negli interventi di sopra si tende ad escluderlo dal catalogo dei primi e per lo stesso motivo si dà la definizione formale moderna di primo che esclude a priori 1 (e lo deve fare comunque, anche quando si volesse definire la nozione di primo a mezzo del Lemma di Euclide p è primo sse p|ab implica che p divide almeno uno dei due fattori). Del resto la nozione di invertibile vs elemento primitivo emerge chiaramente nelle sue differenze quando si passa a considerare la fattorizzazione su ambienti piu' generici e astratti dell'anello $ZZ$degli interi (i domini a fattorizzazione unica) 
@antonello palermo
necroposting...
Saluti
"antonello palermo":
formalmente 1 sarebbe considerabile come primo (se ammettiamo che un numero è primo se gli unici suoi divisori positivi sono quelli banali-cioè 1 e il numero stesso,che nel caso specifico verrebbero a coincidere): per le motivi esplicitate negli interventi di sopra si tende ad escluderlo dal catalogo dei primi e per lo stesso motivo si dà la definizione formale moderna di primo che esclude a priori 1 (e lo deve fare comunque, anche quando si volesse definire la nozione di primo a mezzo del Lemma di Euclide p è primo sse p|ab implica che p divide almeno uno dei due fattori). Del resto la nozione di invertibile vs elemento primitivo emerge chiaramente nelle sue differenze quando si passa a considerare la fattorizzazione su ambienti piu' generici e astratti dell'anello $ZZ$degli interi (i domini a fattorizzazione unica)
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Saluti
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