$-1$ è quadrato in $ZZ/(pZZ)$ se e solo se $p-=1mod4$
Voglio dimostrare che $-1$ è un quadrato in $ZZ/(pZZ)$ se e solo se $p-=1mod4$, con $p$ primo.
$lArr$: Sia $p-=1mod4$.
Considero il gruppo moltiplicativo $(ZZ/(pZZ))^*$ che è un gruppo ciclico di p-1 elementi.
Ho che $4|(p-1)$ dunque esiste $x\in(ZZ/(pZZ))^*$ tale che $o(x)=4$, allora $x^4=(x^2)^2=1$ ma $x^2!=1$.
Da qui posso concludere che $x^2=-1$? In tal caso avrei che $x^2=1$ in $(ZZ/(pZZ))^*$ e dunque anche in $ZZ/(pZZ)$, ma non sono sicuro del fatto che da $x^2!=1$ segua $x^2=-1$.
$rArr$: Sia $x\inZZ/(pZZ)$ tale che $x^2=-1$.
Sicuramente $x!=0$ dunque $x\in(ZZ/(pZZ))^*$.
Ho che $x!=+-1$ (altrimenti sarebbe $x^2=1$), $x^2=-1!=1$, $x^3=x^2*x=-x!=1$, $x^4=(x^2)^2=(-1)^2=1$, dunque $o(x)=4$.
Allora $||=4$ e dunque $4|p-1$, da cui $p-=1mod4$.
La seconda implicazione penso sia giusta, riguardo la prima è corretto concludere come ho fatto?
$lArr$: Sia $p-=1mod4$.
Considero il gruppo moltiplicativo $(ZZ/(pZZ))^*$ che è un gruppo ciclico di p-1 elementi.
Ho che $4|(p-1)$ dunque esiste $x\in(ZZ/(pZZ))^*$ tale che $o(x)=4$, allora $x^4=(x^2)^2=1$ ma $x^2!=1$.
Da qui posso concludere che $x^2=-1$? In tal caso avrei che $x^2=1$ in $(ZZ/(pZZ))^*$ e dunque anche in $ZZ/(pZZ)$, ma non sono sicuro del fatto che da $x^2!=1$ segua $x^2=-1$.
$rArr$: Sia $x\inZZ/(pZZ)$ tale che $x^2=-1$.
Sicuramente $x!=0$ dunque $x\in(ZZ/(pZZ))^*$.
Ho che $x!=+-1$ (altrimenti sarebbe $x^2=1$), $x^2=-1!=1$, $x^3=x^2*x=-x!=1$, $x^4=(x^2)^2=(-1)^2=1$, dunque $o(x)=4$.
Allora $|
La seconda implicazione penso sia giusta, riguardo la prima è corretto concludere come ho fatto?
Risposte
Sì perché sei su un campo, quindi le uniche soluzioni di [tex]X^2 = 1[/tex] sono [tex]X=1[/tex] e [tex]X=-1[/tex] (nel tuo caso [tex]X = x^2[/tex]).
Grazie! 
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