1, 0 e opposto
Ciao, amici! Mi sembra piuttosto banale vedere che in un qualunque dominio di integrità gli elementi neutri rispetto all'addizione ed al prodotto e l'opposto di un dato elemento sono unici. Non sto sbagliando, vero?
Grazie a tutti!!!
Grazie a tutti!!!
Risposte
Certo , è ovvio, sono unici.
Un dominio di integrità è un particolare tipo di anello commutativo unitario, ove tutti gli elementi $a in A $ vale che $AA b in A : ab=0 => a=0 vv b =0$. In altri termini non ha divisori dello zero.
Un esempio è l'anello $ZZ$.
Essendo $(A,+) $ un gruppo viene da se che $0$ è unico.
Per l'unicità dell'uno si ha che se $1,1' $ sono unità di $A$
vale che $1=1*1'=1'1=1'$ , quindi $1$ è unico. $-a$ è unico, perché $(A,+)$ è un gruppo.
Nota inoltre che se $a$ è inoltre invertibile, anche $a^-1$ è unico.
Dimostrare ciò non è difficile
Un dominio di integrità è un particolare tipo di anello commutativo unitario, ove tutti gli elementi $a in A $ vale che $AA b in A : ab=0 => a=0 vv b =0$. In altri termini non ha divisori dello zero.
Un esempio è l'anello $ZZ$.
Essendo $(A,+) $ un gruppo viene da se che $0$ è unico.
Per l'unicità dell'uno si ha che se $1,1' $ sono unità di $A$
vale che $1=1*1'=1'1=1'$ , quindi $1$ è unico. $-a$ è unico, perché $(A,+)$ è un gruppo.
Nota inoltre che se $a$ è inoltre invertibile, anche $a^-1$ è unico.
Dimostrare ciò non è difficile
$+oo$ grazie!!! Bene, qualche volta allora accade anche che se una cosa mi sembra banalmente vera è vera davvero. 
Sì, in un gruppo abeliano direi che, se \(a_1^{*}\) e \(a_2^{*}\) sono inversi di $a$, allora \(a_1^{*} a a_2^{*}=(a_1^{*} a) a_2^{*}=1·a_2^{*}=a_2^{*}\) e \(a_1^{*} a a_2^{*}=a_1^{*} (a a_2^{*})=a_1^{*}·1=a_1^{*}\).
Sì, in un gruppo abeliano direi che, se \(a_1^{*}\) e \(a_2^{*}\) sono inversi di $a$, allora \(a_1^{*} a a_2^{*}=(a_1^{*} a) a_2^{*}=1·a_2^{*}=a_2^{*}\) e \(a_1^{*} a a_2^{*}=a_1^{*} (a a_2^{*})=a_1^{*}·1=a_1^{*}\).
L'inverso è unico in qualsiasi gruppo
Uh, già: non ho neanche dovuto usare la proprietà commutativa nella precedente dimostrazione!
Grazie ancora per la specificazione!!!
Grazie ancora per la specificazione!!!
Aspetta un attimo.
Forse non mi sono spiegato bene.
Sia $a in A$ , $A$ anello.
Se $A $ è commutativo e unitario. e se $a$ è un elemento regolare , invertibile allora detti $a_d$ inverso destro di $a$ e $a_s$ inverso sinistro di $a$ , si ha che $a_s=a_d$.
Forse non mi sono spiegato bene.
Sia $a in A$ , $A$ anello.
Se $A $ è commutativo e unitario. e se $a$ è un elemento regolare , invertibile allora detti $a_d$ inverso destro di $a$ e $a_s$ inverso sinistro di $a$ , si ha che $a_s=a_d$.
OK. Grazie $+oo$ ancora!!!
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