0-divisore in un quoziente
ciao a tutti!
dato il quoziente \( \mathbb{R}[x]/((x-2)^2) \) , \( g+((x-2)^2) \) con \( g=3x^3-7x+2 \) è uno 0-divisore? è nilpotente?
per vedere se g è uno 0-divisore bisogna trovare un altro polinomio che moltiplicato per g dà come risultato la classe di 0, quindi \( (x-2)^2 \) o un suo multiplo.
ho provato a fare la divisione tra polinomi ma non ho trovato nessun polinomio che moltiplicato per g mi da classe di 0. quindi ho dedotto che non è uno 0-divisore, di conseguenza neanche nilpotente.
è giusto come ragionamento?
scusate se ho scritto male qualche formula ma mi sono appena iscritta!
dato il quoziente \( \mathbb{R}[x]/((x-2)^2) \) , \( g+((x-2)^2) \) con \( g=3x^3-7x+2 \) è uno 0-divisore? è nilpotente?
per vedere se g è uno 0-divisore bisogna trovare un altro polinomio che moltiplicato per g dà come risultato la classe di 0, quindi \( (x-2)^2 \) o un suo multiplo.
ho provato a fare la divisione tra polinomi ma non ho trovato nessun polinomio che moltiplicato per g mi da classe di 0. quindi ho dedotto che non è uno 0-divisore, di conseguenza neanche nilpotente.
è giusto come ragionamento?
scusate se ho scritto male qualche formula ma mi sono appena iscritta!
Risposte
E' sempre una buona idea ragionare con i MCD. Il MCD tra $g$ e $(x-2)^2$ è $1$ in $\RR[x]$. Questo dimostra (usando l'algoritmo euclideo "rovesciato") che $g$ è invertibile nel quoziente, quindi non può essere né divisore di $0$ né nilpotente.
grazie mille!!
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