0 di un campo
Ciao, amici! Riflettendo sugli assiomi che definiscono un campo, so che $AAa,b\in K" "(ab=0 ^^ b \ne 0) \Rightarrow a=0$ e che $0\in K$ è l'elemento tale che $AAa\in K" "a+0=0+a=a$, ma non sono sicuro che per ogni campo valga la proprietà di $CC$ secondo cui $a·0=0$, perché dagli assiomi che definiscono un campo non so se si possa derivare questa proprietà...
Qualcuno sarebbe così buono da schiarirmi un po' le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
Qualcuno sarebbe così buono da schiarirmi un po' le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Ciao Davide!
Il fatto che $a*0=0*a=0$ è una proprietà intrinseca di qualunque anello.
Ci puoi arrivare direttamente dalla definizione di anello.
Def
$A $ un insieme non vuoto. $(A,+,*)$ si dice anello se $+ : A X A -> A , * : A x A->A$ tale che
1) $(A,+) $ è un gruppo abeliano , ove $e=0$
2) a) $*$ è associativa.
b) $*$ è distributiva rispetto alla somma.
a te interessa dimostrare questa
Se $A$ è un anello, allora $a*0=0a=0$
primo modo
Essendo $(A,+) $ un gruppo, $0=0+0=0$ e che quindi
$a*0=a*(0*0)=a*0+a*0$ ove l'ultima uguaglianza è perla proprietà distributiva.
ma allora l'elemento $a*0$ risulta essere idempotente in $(A,+)$. E dato che l'unico elemento idempotente del gruppo additivo di $A$ è zero, segue che necessariamente che $a0=0$. (allo stesso modo si prova che $0*a=0$)
Posto in spoiler la definizione di elemento idempotente
secondo modo.
Dalla relazione $a0=a0+a0$ si ha che essendo $(A,+)$ un gruppo, $EE -a*0$ sommando ambo i membri $-a0$ , ottieni che $a0=0$ ( allo stesso modo si prova che $0a=0$)
Nota che questa proprietà vale sia per un anello, che per un corpo che per un campo.
Essendo i corpi e campi particolari tipi di anelli.
Una proprietà che non vale sempre in un anello , è la legge di annullamento del prodotto.
Infatti, se non tutti gli elementi dell'anello $A$ sono invertibili può succedere che per alcuni $a,b in A : a,b!=0 => ab=0$
Un chiaro esempio è $ZZ_4$ prendi l'elemento $[2]_4$
allora hai che $[2]_4*[2]_4 = [4]_4=[0]_4$.
Ciao !
Il fatto che $a*0=0*a=0$ è una proprietà intrinseca di qualunque anello.
Ci puoi arrivare direttamente dalla definizione di anello.
Def
$A $ un insieme non vuoto. $(A,+,*)$ si dice anello se $+ : A X A -> A , * : A x A->A$ tale che
1) $(A,+) $ è un gruppo abeliano , ove $e=0$
2) a) $*$ è associativa.
b) $*$ è distributiva rispetto alla somma.
a te interessa dimostrare questa
Se $A$ è un anello, allora $a*0=0a=0$
primo modo
Essendo $(A,+) $ un gruppo, $0=0+0=0$ e che quindi
$a*0=a*(0*0)=a*0+a*0$ ove l'ultima uguaglianza è perla proprietà distributiva.
ma allora l'elemento $a*0$ risulta essere idempotente in $(A,+)$. E dato che l'unico elemento idempotente del gruppo additivo di $A$ è zero, segue che necessariamente che $a0=0$. (allo stesso modo si prova che $0*a=0$)
Posto in spoiler la definizione di elemento idempotente
secondo modo.
Dalla relazione $a0=a0+a0$ si ha che essendo $(A,+)$ un gruppo, $EE -a*0$ sommando ambo i membri $-a0$ , ottieni che $a0=0$ ( allo stesso modo si prova che $0a=0$)
Nota che questa proprietà vale sia per un anello, che per un corpo che per un campo.
Essendo i corpi e campi particolari tipi di anelli.
Una proprietà che non vale sempre in un anello , è la legge di annullamento del prodotto.
Infatti, se non tutti gli elementi dell'anello $A$ sono invertibili può succedere che per alcuni $a,b in A : a,b!=0 => ab=0$
Un chiaro esempio è $ZZ_4$ prendi l'elemento $[2]_4$
allora hai che $[2]_4*[2]_4 = [4]_4=[0]_4$.
Ciao !
Oppure
$x + x*0 = x*1+x*0=x*(1+0)=x*1=x=x+0$
cancellando $x$ a sinistra ottieni $x*0=0$
$x + x*0 = x*1+x*0=x*(1+0)=x*1=x=x+0$
cancellando $x$ a sinistra ottieni $x*0=0$
"perplesso":
Oppure
$x + x*0 = x*1+x*0=x*(1+0)=x*1=x=x+0$
cancellando $x$ a sinistra ottieni $x*0=0$
Perplesso, ma ti riferisci a un campo o ad un anello qualsiasi?
Non è sempre vero che un anello è unitario....o sbaglio?
Non sbagli. Quello che ha scritto perplesso è corretto in un qualunque anello unitario.
Ma si può fare di meglio, generalizzando ad un anello qualunque:
$x*0 +x*0= x*(0+0)= x*0=x*0+0=> x*0=0$
Ma si può fare di meglio, generalizzando ad un anello qualunque:
$x*0 +x*0= x*(0+0)= x*0=x*0+0=> x*0=0$
$+oo$ grazie, ragazzi! Quant'è bella l'algebra... 
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