Zeri di un polinomio di grado irrazionale
Sarà una domanda stupida, ma non riesco a venirne a capo. In generale, dato un polinomio con esponenti irrazionali, c'è un modo per stimare ragionevolmente quanti zeri abbia?
Risposte
tipo $x^pi+x^(sqrt2)+1$ ?
"gio73":
tipo $x^pi+x^(sqrt2)+1$ ?
Esatto. Quante soluzione ci si può aspettare che abbia l'equazione $3x^(sqrt2)+4x-11=0$ ?
A me sembra possa esser utile osservare che la $f(x)=3x^(sqrt(2))+4x-11:[0,+oo) to RR$ abbia derivata prima positiva
(addirittura non minore di $4$..)in tutto il suo dominio;
essendo poi ivi continua,
per il teorema d'esistenza degli zeri il suo grafico passerà dal punto $(0,-11)$ al punto $(2,3*(2^(sqrt(2))-1))$
passando almeno una volta dall'asse delle ascisse:
anzi,per meglio dire,quella volta e mai più(proprio grazie alla crescenza di $f$..)!
Saluti dal web.
(addirittura non minore di $4$..)in tutto il suo dominio;
essendo poi ivi continua,
per il teorema d'esistenza degli zeri il suo grafico passerà dal punto $(0,-11)$ al punto $(2,3*(2^(sqrt(2))-1))$
passando almeno una volta dall'asse delle ascisse:
anzi,per meglio dire,quella volta e mai più(proprio grazie alla crescenza di $f$..)!
Saluti dal web.
Mi sono ripreso dal limite trigonometrico - m'era venuto un colpo di inutilità (sono laureato e non so fare un limite?!? ma poi ho visto che era un limite tutt'altro che facile!) - comunque ora salgo in cattedra e una volta tanto darò una spiegazione matematica piuttosto corretta senza tanti giri di parole.
Inizio innanzitutto con il dire che quelli di cui parli, non sono polinomi: nei polinomi, per definizione, le variabili hanno indici interi non negativi (es. https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial).
Tuttavia andiamo un po' più in là e ricordo che, per esponenti irrazionali, si definisce - in analisi complessa tale definizione diventa obbligatoria - $x^y= e^(y log(x))$ dove con "log" indico il logaritmo in base $e$ da molti indicato con "ln": tuttavia nella maggior parte dei libri incontrati da me si utilizza "log" e mi sono abituato così anche io.
Dove voglio andare a parare? Semplice, te lo faccio vedere con un esempio.
$x^(\pi)+x^(\sqrt(2))+1=0$
equivale a
$e^(\pi log(x)) + e^(\sqrt(2) log(x))+1=0$
che è un'equazione esponenziale di non facile soluzione (e non un polinomio). Per essa non esistono meccanismi semplici di soluzione che consentono di determinare il numero degli zeri. Almeno in genere non è così semplice anche se il buon theras (che saluto ) ha mostrato che comunque ci sono eccezioni.
E qui, non fate l'errore che faceva il sottoscritto alle superiori - per distrazione, sennò invece della matematica avrei dovuto darmi all'ippica
-, cioè $e^(\pi log(x))= e^(\pi) \cdot e^(log(x))$!!!
Non dovrei scriverlo, ma ricordo che $e^(\pi log(x))= (e^(log(x)))^(\pi) = (e^(\pi))^(log(x))$.
Inizio innanzitutto con il dire che quelli di cui parli, non sono polinomi: nei polinomi, per definizione, le variabili hanno indici interi non negativi (es. https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial).
Tuttavia andiamo un po' più in là e ricordo che, per esponenti irrazionali, si definisce - in analisi complessa tale definizione diventa obbligatoria - $x^y= e^(y log(x))$ dove con "log" indico il logaritmo in base $e$ da molti indicato con "ln": tuttavia nella maggior parte dei libri incontrati da me si utilizza "log" e mi sono abituato così anche io.
Dove voglio andare a parare? Semplice, te lo faccio vedere con un esempio.
$x^(\pi)+x^(\sqrt(2))+1=0$
equivale a
$e^(\pi log(x)) + e^(\sqrt(2) log(x))+1=0$
che è un'equazione esponenziale di non facile soluzione (e non un polinomio). Per essa non esistono meccanismi semplici di soluzione che consentono di determinare il numero degli zeri. Almeno in genere non è così semplice anche se il buon theras (che saluto
) ha mostrato che comunque ci sono eccezioni.E qui, non fate l'errore che faceva il sottoscritto alle superiori - per distrazione, sennò invece della matematica avrei dovuto darmi all'ippica
-, cioè $e^(\pi log(x))= e^(\pi) \cdot e^(log(x))$!!!Non dovrei scriverlo, ma ricordo che $e^(\pi log(x))= (e^(log(x)))^(\pi) = (e^(\pi))^(log(x))$.
Può essere una cosa inutile ma mi pare di ricordare che la potenza ad esponente irrazionale ( o peggio ancora (!) trascendente...) è definita solo se la base è positiva. Per esempio il simbolo $(-3)^{sqrt2 }$ non ha evidentemente senso... Quindi negli esempi fatti sopra occorre supporre $x>0$.
Inoltre, è utile ricordare che il termine polinomio (algebricamente, però, srebbe ancora più corretto dire funzione polinomiale) è riservato a combinazioni lineari di funzioni potenza ad esponente intero nonnegativo.
Vi ringrazio, e chiedo scusa per l'improprietà linguistica.
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