Vediamo chi ci riesce...
Sia $P(x,y)$ il punto variabile sul segmento definito dal sistema misto:
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma
).
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma
).
Risposte
Ma come vuoi la soluzione ?
Ti bastano un po' di conti ?
O vuoi una soluzione analitica ...
Buon Natale a tutti, Alex
Ti bastano un po' di conti ?
O vuoi una soluzione analitica ...
Buon Natale a tutti, Alex
@axpgn
Che significa " con un paio di moltiplicazioni" ? Se vuol dire che la soluzione è stata trovata con le derivate
allora ..non vale! (Si era detto senza derivate ).
Se non è così, sarebbe interessante vedere come hai proceduto.
Che significa " con un paio di moltiplicazioni" ? Se vuol dire che la soluzione è stata trovata con le derivate
allora ..non vale! (Si era detto senza derivate ).
Se non è così, sarebbe interessante vedere come hai proceduto.
"ciromario":Dall'equazione delle retta ricavo $y = 2/3·(x-5)$, per cui devo trovare il massimo di:
Sia $P(x,y)$ il punto variabile sul segmento definito dal sistema misto:
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma
$z(x) = x^3y^2=4/9x^3(5-x)^2$.
Questa funzione ha uno zero triplo in x = 0 ed uno doppio in x = 5.
Nell'intervallo aperto 0 < x < 5 è sempre z(x) > 0. Sia $m$ il massimo assoluto di z(x) in questo intervallo e sia $z(a) = m$
Siccome z(x) è polinomiale, attorno al massimo assoluto deve avere un andamento parabolico (o comunque un tratto con la concavità nel verso di z decrescente). Pertanto, l'equazione $z(x) – m = 0$, cioè:
$4/9·x^3(5-x)^2 - m = 0$,
deve avere in $x = a$ una soluzione di molteplicità pari (2 o 4).
In altre parole, per opportune costanti
$m, a, A, B$ e $C$
deve valere l'identità
$4/9·x^3(5-x)^2 - m = 4/9·(x-a)^2·(x^3 + Ax^2 + Bx + C)$.
L'imporre tale identità conduce ad un sistema di 5 equazioni algebriche nelle 5 incognite $a, A, B, C$ e $m$.
Infatti, riducendo l'uguaglianza alla forma espressamente polinomiale, devono essere uguali i coefficienti dei monomi di egual grado nei due membri uguagliati.
Esplicitamente deve essere:
$A - 2a = -10; $
$B - 2a·A + a^2 = 25;$
$C - 2a·B + a^2·A = 0;$
$-2a·C + a^2·B = 0;$
$-9/4m = a^2·C.$
Eliminando dalle prime 4 equazioni le incognite A, B e C (ed essendo necessariamente $a ≠ 0$ e $a ≠ 5$) si perviene all'equazione lineare in $a$:
$2a - 5 = (3a - 5)/4$
risolta da
$a = 3$.
Infine, il massimo risulta:
$m = z(3) = 4/9·3^3(5-3)^2 = 48.$
--------
Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?
"milizia96":
Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?
Sì.
La risposta di Erasmus è certamente ingegnosa ma quella di Milizia mi pare più...abbordabile da tutti.
Una soluzione più leggera può essere quindi la seguente.
Posto $z=x^3y^2$ si ha pure:
$z=3/2\cdot {2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{3y}/2\cdot{3y}/2$
Pertanto, giusta quanto detto da Milizia, risulta:
$z<=3/2\cdot ((3\cdot({2x}/3)+2\cdot({3y}/2)}/5)^5$
Ovvero:
$z<=3/2\cdot ({2x+3y}/5)^5=3/2\cdot 2^5=48$
Pertanto il massimo di z è 48 e viene raggiunto quando tutti termini della media geometrica sono uguali e
ciò avviene quando si ha :
${2x}/3={3y}/2$
che unita alla condizione $2x+3y=10$ porta al punto $P(3,4/3)$
Una soluzione più leggera può essere quindi la seguente.
Posto $z=x^3y^2$ si ha pure:
$z=3/2\cdot {2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{3y}/2\cdot{3y}/2$
Pertanto, giusta quanto detto da Milizia, risulta:
$z<=3/2\cdot ((3\cdot({2x}/3)+2\cdot({3y}/2)}/5)^5$
Ovvero:
$z<=3/2\cdot ({2x+3y}/5)^5=3/2\cdot 2^5=48$
Pertanto il massimo di z è 48 e viene raggiunto quando tutti termini della media geometrica sono uguali e
ciò avviene quando si ha :
${2x}/3={3y}/2$
che unita alla condizione $2x+3y=10$ porta al punto $P(3,4/3)$
"Rigel":
[quote="milizia96"]Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?
Sì.[/quote]Non capisco.
(Media aritmetica) e (media geometrica) di che?
"Non bastava" a che ?
–––––––
Auguri natalizi a tutti.
Usando la disuguaglianza AM-GM si dimostra che, se \(a_1, \ldots a_n > 0\) e \(c > 0\), allora la soluzione del problema di massimo
\[
\max\{ x_1 x_2 \cdots x_n:\ a_1 x_1 + \cdots +a_n x_n = c,\ x_1, \ldots, x_n > 0\}
\]
soddisfa la condizione di ottimalità
\[
(1) \qquad a_1 x_1 = a_2 x_2 = \cdots = a_n x_n\,.
\]
In particolare, la soluzione del problema
\[
\max\{x^3 y^2 :\ 2x + 3y = 10,\ x,y>0\} =
\max\{x\cdot x \cdot x \cdot y \cdot y:\ \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{3}{2}\, y + \frac{3}{2}\, y = 10\}
\]
soddisfa la condizione
\[
\frac{2}{3}\, x = \frac{3}{2}\, y
\]
che, insieme al vincolo \(2x + 3y = 10\), fornisce la soluzione \(x = 3\), \(y = 4/3\).
\[
\max\{ x_1 x_2 \cdots x_n:\ a_1 x_1 + \cdots +a_n x_n = c,\ x_1, \ldots, x_n > 0\}
\]
soddisfa la condizione di ottimalità
\[
(1) \qquad a_1 x_1 = a_2 x_2 = \cdots = a_n x_n\,.
\]
In particolare, la soluzione del problema
\[
\max\{x^3 y^2 :\ 2x + 3y = 10,\ x,y>0\} =
\max\{x\cdot x \cdot x \cdot y \cdot y:\ \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{3}{2}\, y + \frac{3}{2}\, y = 10\}
\]
soddisfa la condizione
\[
\frac{2}{3}\, x = \frac{3}{2}\, y
\]
che, insieme al vincolo \(2x + 3y = 10\), fornisce la soluzione \(x = 3\), \(y = 4/3\).
Ho capito!
Grazie, Rigel, della dettagliata spiegazione.
Una siffatta soluzione del quiz non mi sarebbe mai venuta in mente!
–––––––––––––––––––––––––
Penso anche che, mentre nei licei scientifici e negli istituti tecnici industriali si studiano derivate ed integrali (e nella mia 5ª Liceo Scientifico – parliamo di oltre trent'anni fa – si studiavano pure le serie [e negli esami di maturità del 1982 uno dei problemi della prova scritta di matematica fu proprio il calcolo del limite di una serie], e nell'ITIS di informatica di circa 25 anni fa anche le serie di Fourier), in nessuna "scuola secondaria" (ossia: pre-universitaria) si insegnano le medie geometriche e aritmetiche (o meglio:medie pesate) a questo livello. Tantomeno questo tipo di applicazione.
Ma forse le discipline sono cambiate profondamente dai tempi ormai andati di quando insegnavo io in "scuole secondarie" ...
Infine ... questo modo di risolvere il quiz è in alternativa al tipo di soluzione che ho offerto io, non certo più semplice e sbrigativo; e non certo di più facile comprensione.
[Sto ancora pensando ai ragazzi della "scuola secondaria"].
Un anno [a.s. 1983/84] ho avuto una 3ª Liceo scientifico ... particolarmente sveglia!
Ne ho approfittato per approfondire lo studio delle coniche e delle funzioni razionali in genere. Sono convinto che un qualche mio allievo di quella classe avrebbe risolto alla mia maniera questo quiz, benché mai io abbia assegnato agli allievi un analogo problema da risolvere.
Gradirei sentire il parere di ciromario che ha proposto questo quiz.
Grazie dell'attenzione.
E ... Buone Feste natalizie a tutti!
Grazie, Rigel, della dettagliata spiegazione.
Una siffatta soluzione del quiz non mi sarebbe mai venuta in mente!
–––––––––––––––––––––––––
Penso anche che, mentre nei licei scientifici e negli istituti tecnici industriali si studiano derivate ed integrali (e nella mia 5ª Liceo Scientifico – parliamo di oltre trent'anni fa – si studiavano pure le serie [e negli esami di maturità del 1982 uno dei problemi della prova scritta di matematica fu proprio il calcolo del limite di una serie], e nell'ITIS di informatica di circa 25 anni fa anche le serie di Fourier), in nessuna "scuola secondaria" (ossia: pre-universitaria) si insegnano le medie geometriche e aritmetiche (o meglio:medie pesate) a questo livello. Tantomeno questo tipo di applicazione.
Ma forse le discipline sono cambiate profondamente dai tempi ormai andati di quando insegnavo io in "scuole secondarie" ...
Infine ... questo modo di risolvere il quiz è in alternativa al tipo di soluzione che ho offerto io, non certo più semplice e sbrigativo; e non certo di più facile comprensione.
[Sto ancora pensando ai ragazzi della "scuola secondaria"].
Un anno [a.s. 1983/84] ho avuto una 3ª Liceo scientifico ... particolarmente sveglia!
Ne ho approfittato per approfondire lo studio delle coniche e delle funzioni razionali in genere. Sono convinto che un qualche mio allievo di quella classe avrebbe risolto alla mia maniera questo quiz, benché mai io abbia assegnato agli allievi un analogo problema da risolvere.
Gradirei sentire il parere di ciromario che ha proposto questo quiz.
Grazie dell'attenzione.
E ... Buone Feste natalizie a tutti!
"ciromario":
Se vuol dire che la soluzione è stata trovata con le derivate allora ..non vale! (Si era detto senza derivate ).
Certo che no, eh!
"ciromario":
Che significa " con un paio di moltiplicazioni" ?
Significa semplicemente con un paio di prove ... come detto non ho trovato una soluzione analitica ma proseguendo nel ragionamento si evince che il dominio della $x$ è $0<=x<=5$, la funzione è sempre positiva e siccome $f(0)=f(5)=0$ prima cresce e poi cala. Un paio di prove con $x$ intera "sembra" che il massimo sia in $x=3$, un altro paio di prove nelle "vicinanze" ed è così ...
Avevo premesso che non era una soluzione analitica ...
Cordialmente, Alex
"ciromario":@ ciromario
La risposta di Erasmus è certamente ingegnosa ma quella di Milizia mi pare più...abbordabile da tutti.
[Nel mio precedente intervento non mi ero ancora accorto che tu avevi già replicato].
Milizia96 non ha dato alcuna risposta.
Ha fatto invece una domanda.
La risposta cui ti riferisci l'ha data Rigel (su mia precisa richiesta, non avendo io assolutamente capito né la domanda di Milizia96 né il laconico "Sì" col quale soltanto Rigel ha risposto a Milizia96).
Non condivido affatto la tua ... "valutazione"!
La risposta di Erasmus non è "ingegnosa" ma semplicemente... lineare (nel senso letterario della parola, non in quello matematico ... benché si pervenga ad una equazione algebrica lineare!).
Insomma: si tratta solo di sfruttare il principio di identità tra polinomi, quello stesso che si usa abitualmente, quello che (per esempio), sapendo che il polinomio di 2° grado in x
$Ax^2 + Bx + C$
ha due zeri, mi permette di chiamare questi $a$ e $b$ e scrivere l'identità:
$A(x-a)·(x-b) = Ax^2 + Bx + C$
dalla quale concludo che devono valere le uguaglianze:
$a+b = –B/A; ab = C/A$
Voglio dire: la mia soluzione al tuo quiz è qualcosa di analogo a quel che si insegna in tutte le "scuole secondarie", in tutte le quali (per lo meno quando insegnavo io) si dedica particolare attenzione alle funzioni razionali ( cioè: polinomi e rapporti tra polinomi) che appunto si studiano per benino ancora prima di sapere cosa significa "funzione".
A me sembra molto più "abbordabile" (da chiunque, specie da ragazzini della "scuola secondaria") la mia soluzione di quella spiegatami da Rigel. Quella sì è "ingegnosa"!
Tu hai provato a renderla ... "più leggera" scrivendo:
$z=3/2\cdot {2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{3y}/2\cdot{3y}/2$.
Ma questo sì, [per usare un eufemismo], è davvero poco abbordabile!
Quei fattori 3/2 e 2/3 sembrano usciti dal cappello del prestigiatore!
Da dove, chi non sapesse già dove si va a parare, potrebbe tirar fuori proprio quella scrittura, con quei precisi coefficienti (che si elidono l'un l'altro ... come si eliderebbero l'un l'altro pure $(pinco)/(panco)$ e $(panco)/(pinco)$) e con quella precisa collocazione?
Una domanda: questo quiz l'hai inventato tu o l'hai preso da altra fonte?
Nel secondo caso , la tua fonte presentava solo il problema o riportava anche la [traccia della] soluzione?
Se il quiz non l'hai inventato tu, mi piacerebbe avere maggiori informazioni sulla fonte alla quale hai attinto ...
Grazie dell'attenzione.
Ancora Buone Feste (a te e a tutti).
"Erasmus_First":
Ma questo sì, [per usare un eufemismo], è davvero poco abbordabile!
Quei fattori 3/2 e 2/3 sembrano usciti dal cappello del prestigiatore!
E' una scorciatoia che in alcuni contesti si vede spesso. Prima si deve capire in quanti addendi va spezzata per far tornare gli esponenti giusti, poi i coefficienti da inserire vengono da sè
"Erasmus_First":
Una domanda: questo quiz l'hai inventato tu o l'hai preso da altra fonte?
In ogni caso in tutti i libri di analisi se ne trovano tante fatte apposta per essere risolte con le derivate
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