Un'equazione trigonometrica

[Mathita]

Ho un esercizio davvero carino, che può essere approcciato in più modi (come c'era d'aspettarsi).

Risolvere l'equazione trigonometrica

$\sin^3(x)+\cos^3(x)=1$

La palla a voi.

[axpgn]

Di fatto, il problema si trasforma nel determinare se esistono altre soluzioni oltre a quelle "banali" cioè $x=2kpi$ e $x=pi/2+2kpi$ con $k in ZZ$.
Ora notando che vale sempre $|sin(x)|>=(sin(x))^2>=|(sin(x))^3|$ (e lo stesso dicasi per il coseno) ed essendo quindi $(sin(x))^2+(cos(x))^2>=(sin(x))^3+(cos(x))^3$, ricordando inoltre che $(sin(x))^2+(cos(x))^2-1=0$, allora si può concludere che $f(x)=(sin(x))^3+(cos(x))^3-1$ è sempre negativa (tranne per le due soluzioni sopra citate) e quindi non esistono altre soluzioni diverse da quelle "banali".

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Soluzione brillante! Ottimo. Ce n'è un'altra altrettanto carina

[Zero87]

Premesso che con le formule parametriche, se non ho sbagliato qualche calcolo, ci si arriva, in pausa caffè mi è venuta in mente una soluzione caruccia...

Abbiamo $sin^3(x)+cos^3(x)=1$.
Scrivo
$sin^3(x)+cos^3(x)=sin^2(x)+cos^2(x)$
sfruttando l'identità trigonometrica $sin^2(x)+cos^2(x)=1$.
Porto tutto al primo membro,
$sin^3(x)-sin^2(x)+cos^3(x)-cos^2(x)=0$
e raccolgo
$sin^2(x)(sin(x)-1)+cos^2(x)(cos(x)-1)=0$.

Cosa dire?
- I termini fuori dalle parentesi sono due quadrati, quindi sono sempre non negativi inoltre non si annullano mai contemporaneamente.
- I termini nelle parentesi sono sempre non positivi e non si annullano mai in contemporanea, perciò se $cos(x)-1=0$ si ha $sin(x)-1<0$ e viceversa (questo perché $|cos(x)|\le 1$ e $|sin(x)| \le 1$ per ogni $x$).
Dunque?
Le uniche soluzioni, se ci sono, si hanno quando si annullano contemporaneamente i due termini della somma e, fatte le premesse precedenti, se (sono 2 sistemi le cui soluzioni vanno unite):
- $sin^2(x)=0$ e $cos(x)-1=0$;
- $cos^2(x)=0$ e $sin(x)-1=0$.
Quindi $x=0$ e $x=\pi/2$, a cui si aggiunge la periodicità.

Se ci ho preso posso dare retta a Erdos e dire che il matematico trasforma il caffè in teoremi.

[axpgn]

Molto carina

[Mathita]

Bella risposta Zero! Ho potuto vederla solo ora perché sullo smartphone non venivano renderizzate correttamente le formule (al loro posto compariva un messaggio del genere:"math processing error").

Orbene, abbiamo trovato le soluzioni belle! Ce n'è un'altra ancora che merita di essere scovata. . Intanto ringrazio chi è già intervenuto!

[axpgn]

@Mathita
[ot]Per quanto riguarda quel messaggio di errore, a me capita quando apro troppo "presto" lo spoiler; troppo "presto" significa che il browser non ha ancora terminato di scaricare ed elaborare il codice che visualizza le formule.
Riprova dopo avergli dato il giusto tempo ... [/ot]

Cordialmente, Alex

[Mathita]

@axpgn
[ot]Ah, ok, sono stato troppo impaziente . Grazie mille, cercherò di attendere un po' di più.[/ot]

[Zero87]

"Mathita":Bella risposta Zero! [...]
Orbene, abbiamo trovato le soluzioni belle! Ce n'è un'altra ancora che merita di essere scovata. . Intanto ringrazio chi è già intervenuto!

Grazie @Mathita... Per il resto vorrà dire che se c'è un'altra soluzione so a cosa pensare domani in pausa caffè per sconnettermi momentaneamente dal lavoro.
Grazie anche a te @axpgn, ma la tua mi piace di più perché più immediata e utilizza una sottile proprietà delle potenze che spesso giace dimenticata.

[axpgn]

Leggo questo

"Zero87":... e utilizza una sottile proprietà delle potenze che spesso giace dimenticata. ...

e mi sono chiesto, stupito: "Quale proprietà ho utilizzato che non me ne sono accorto?"
Poi ho capito cosa intendevi e in effetti è l'idea che mi è venuta subito e … funzionava

Ciao a tutti, Alex

[Zero87]

Sì, adesso non so se viene data come proprietà, ma semplicemente per $0 x^(n+1)$ per $n$ naturale.
Da una parte rilancerei dicendo di dimostrarla ma ne ho in mente una dimostrazione veramente banale quindi lo do per assodato.

[axpgn]

Anch'io ne ho in mente una semplice, sicuramente è la stessa

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Beh, se è vero che $0
- da $00$ (prodotto di quantità positive è positiva);

- da $0 )

[Zero87]

"Mathita":basta moltiplicare i 3 membri

Credo sia dividere, non moltiplicare.
Comunque, questa è carina, ma io ne avevo una banale che a questo punto inserisco in spoiler.

Supposto, $0 $x^n > x^(n+1)$
ovvero
$x^n - x^(n+1)>0$
dunque
$x^n (1-x)>0$
da cui, per $0

Cita

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[Mathita]

Ho modificato il messaggio (non avevo specificato cosa moltiplicare per $x^n$). La tua è molto userfriendly, io ho inutilmente complicato le cose.

[axpgn]

Beh, allora metto anche la mia ... ... che poi è simile a quella di Mathita ...

Per semplicità mi limito al primo quadrante (tanto si espande facilmente agli altri)
Abbiamo $0<=sin(x)<=1$, moltiplichiamo tutto per $sin(x)$ ed otteniamo $0<=(sin(x))^2<=sin(x)$
Poi per induzione si dimostra che si può proseguire all'infinito

Cordialmente, Alex

[Zero87]

"Mathita":Ho modificato il messaggio (non avevo specificato cosa moltiplicare per $x^n$). La tua è molto userfriendly, io ho inutilmente complicato le cose.

Non dire così, quella tua e quella di @axpgn le trovo un po' più eleganti e meno "manuali" della mia.