Un'equazione di Mordell più semplice di così...

[j18eos]

Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione di Mordell \(\displaystyle x^3-y^2=0\).

In generale, le equazioni di Mordell sono del tipo \(\displaystyle x^3-y^2+k=0\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}\); lessi da qualche parte che l'ultimo caso noto è stato risolto l'anno scorso (2020 dC), ma non trovo più la fonte dell'informazione... ma può essere che mi sia confuso con un problema simile.

P.S.: basta la sola aritmetica della scuola primaria\secondaria di primo grado.

[axpgn]

$x=z^2, y=z^3, z in ZZ\ \ \ -> \ \ \ x^3=y^2\ \ ->\ \ z^6=z^6$

Cordialmente, Alex

[j18eos]

Sì, perché non ce ne sono altre?

[axpgn]

$y^2$ è un quadrato ovvero i fattori primi in cui è scomposto hanno tutti un esponente pari, ne consegue che anche i fattori di $x^3$ devono tutti avere esponente pari perché valga l'uguaglianza e ciò è possibile solo se anche $x$ è un quadrato.

[j18eos]

Va bene!

Rilancio: dare due (o più) distinte interpretazioni geometriche di questa evidenza. Sbizzarritevi!

[Snipe]

"j18eos":

Rilancio: dare due (o più) distinte interpretazioni geometriche di questa evidenza.

puoi fare un esempio?

[j18eos]

Giusto un'idea: le rette tangenti alla curva \(x^2-y^3=0\), esclusa l'origine, hanno qualche comportamento notevole in quei punti?

[Snipe]

l'unica cosa che ho notato fin ora è che la seconda soluzione sulle x positive ha una tangente in quel punto che taglia la prima soluzione sulle x negative, detto meglio, la retta per i due punti (-1,1) ; (8,4) è tangente in (8,4).

ma non so se può essere un idea, perché già la tangente in (27, 9) non taglia la curva in un altra soluzione
intera...


p.s.
no ok almeno una delle 2 tangenti in un punto soluzione del problema sulla curva taglia la curva in un altro punto soluzione del problema.

le rette passanti per (-1,1) ; (8,4) e (-216,36) ; (27, 9) sono tangenti alla curva data

[Snipe]

ok, la prima soluzione è collegata alla seconda soluzione, la terza soluzione alla sesta, la quarta all'ottava e così via... ma detto questo non credo che riuscirei a cavare un ragno dal buco, anche perchè non so nemmeno come si trovano le tangenti, ho fatto a braccio con geogebra

[j18eos]

Penso che si possa congetturare quanto segue:

Detta \(\displaystyle t_n\) la retta tangente alla curva \(\displaystyle x^2-y^3=0\) nel punto \(\displaystyle(n^3,n^2)\), è vero che questa interseca la data curva anche nel punto \(\displaystyle(8n^3,4n^2)\)?