Una successione

[axpgn]

Trovare una successione $a_0, a_1, a_2, … $ i cui elementi siano positivi e tale che sia $a_0=1$ e $a_n-a_(n+1)=a_(n+2)$ per $n = 0, 1, 2, … $.
Mostrare che tale successione è unica.

Cordialmente, Alex

[solaàl]

E' evidente che

quando il valore di $a_1=k$ è fissato, la successione è completamente determinata dalla relazione di ricorrenza che scrivi

, perché

\(a_n = (-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})\) dove gli $F_n$ sono i numeri di Fibonacci.

Del resto, questo impone un constraint sul valore di k obbligandolo ad essere

inscatolato nell'intervallo \(\big[\frac{F_n}{F_{n+1}},\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\big]\);

è evidente che

passando al limite per \(n\to \infty\) \(k \) deve essere uguale a \(\varphi-1 = \lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}\).

[solaàl]

Però dovresti specificare "non negativi" invece di "positivi" e che la successione è fatta da numeri reali, non interi (dove chiaramente il problema non ha soluzione).

[axpgn]

Non vedo perché dovrei cambiare il testo del quesito, dato che quello è il testo originale (a dir la verità, quello originale è in inglese ).

La tua successione mi torna, salvo che è spostata (in anticipo) di un indice (se non ho sbagliato i conti), quindi forse non è la stessa?
Ovviamente, per me non c'è niente di evidente in quello che hai scritto

Tale successione si può esprimere in modo più semplice (altrimenti non ci sarei mai arrivato ).

Cordialme

[solaàl]

"axpgn":Non vedo perché dovrei cambiare il testo del quesito, dato che quello è il testo originale (a dir la verità, quello originale è in inglese ).

Perché il testo, per come lo hai tradotto, è ambiguo: cosa significa "positivi"? Strettamente positivi? Positivi e possibilmente nulli? E dove ha valori questa successione? In \(\mathbb N\)? In \(\mathbb R\)? Nel tuo giardino?

Decifrare il testo di un esercizio non deve essere parte dell'esercizio se l'ambiguità ne pregiudica la buona positura: è qualcosa che si impara insieme alla matematica.

Per il resto: mi sembra tutto davvero evidente, la ricorrenza che hai scritto implica ciascuna delle cose che ho detto, e il fatto che il limite che dico faccia \(\varphi-1\) è una cosa ben nota.

[axpgn]

"solaàl":… Perché il testo, per come lo hai tradotto, è ambiguo:

Stavolta non credo …

"Find a sequence $a_0, a_1, a_2, …$ whose elements are positive and such that $a_0=1$ and $a_n-a_(n+1)=a_(n+2)$ for $n=0, 1, 2, …$
Show that there is only one such sequence."

"solaàl":… cosa significa "positivi"? Strettamente positivi? Positivi e possibilmente nulli?

Mi stai dicendo che "positivi" è ambiguo? E dove avrei ristretto il campo ai naturali? O ad altro?

Quel che è "evidente" per te non implica che lo sia per me, è "evidente"

Peraltro, come ho detto, non mi tornano gli indici della tua successione con la mia ovvero la tua anticipa di un posto rispetto alla mia perciò "potrebbe" non essere la stessa (… quel limite lo conosco ... )

Cordialmente, Alex

[solaàl]

Mi stai dicendo che "positivi" è ambiguo?

0 è positivo?

Per il resto, sì, io contavo \(a_n = a_{n-2}-a_{n-1}\), ho semplicemente spostato all'indietro.

[axpgn]

"solaàl":0 è positivo?

No.

"solaàl":Per il resto, sì, io contavo \( a_n = a_{n-2}-a_{n-1} \), ho semplicemente spostato all'indietro.

No, non intendevo quello.
La successione cercata deve iniziare con $a_0=1$; se chiamo $s_n$ la tua successione, allora (secondo i miei calcoli) abbiamo che $s_0=a_1$ ovvero in generale $s_n=a_(n+1)$.

Cordialmente, Alex

[solaàl]

No.

Beh, per te. Il punto è proprio questo.

[axpgn]

Beh, penso di essere in buona compagnia ...

Forse ti sfugge il fatto che non siamo in una sezione universitaria e qui si dà per scontato che lo zero non sia positivo ...

Peraltro mi pare che sia poco rilevante dato che nella successione cercata non ci sono zeri (neanche nella tua mi sembra ...), o no?

Cordialmente, Alex

[solaàl]

Beh, penso di essere in buona compagnia ...

Ma lol, nemmeno per sogno: come vedi qui https://math.stackexchange.com/a/1023619/685 la questione è come minimo relativa al contesto; e si decide che i termini significhino questo: positivo sottintende "strettamente", e "non-negativo" include lo zero. Sinonimo di nonnegativo è "positivo o nullo" o "positivo, possibilmente nullo".

Forse ti sfugge il fatto che non siamo in una sezione universitaria e qui si dà per scontato che lo zero non sia positivo

Forse a sfuggirmi è come si giustifica una definizione ambigua in forza del suo target. O forse sfugge a te, ma a questo punto non importa. Bastava capirsi, e ho capito questo ed altro, ora.

Per il resto.

Sei d'accordo che

il limite di una successione, se esiste, è lo stesso di ciascuna delle sue code?

Se sì, sei d'accordo che

shiftare avanti o indietro di un termine ha poco effetto sul risultato.

Nel tuo caso,

$a_0=1$, $a_1=k$, e $a_2=a_0-a_1=1-k$... in effetti i primi valori sono i seguenti:
\[
\{1,k,1-k,2 k-1,2-3 k,5 k-3,5-8 k,13 k-8,13-21 k,34 k-21,34-55 k,\dots,\dots\}
\]

da cui il guess che

il termine generale della successione sia \((-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})\);

cosa che effettivamente si può verificare per induzione con una paziente burocrazia.

Adesso il constraint che questi siano tutti termini positivi cosa dice? Impone

il sistema infinito di disuguaglianze
\[\begin{cases}
k\ge 0 \\
1-k\ge 0 \\
2 k-1\ge 0 \\
2-3 k\ge 0 \\
5 k-3\ge 0 \\
5-8 k\ge 0 \\
13 k-8\ge 0 \\
13-21 k\ge 0 \\
34 k-21\ge 0 \\
34-55 k \ge 0\\
\vdots
\end{cases}\]
Ora la condizione \((-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1}) \ge 0\) impone una certa condizione a $k$ a seconda della parità di $n$, e questa condizione è esattamente \(\frac{F_n}{F_{n+1}}\le k\le \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\), ossia \(k\in\big[\frac{F_n}{F_{n+1}},\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\big]=: U_n \)

Ma ora,

il limite \(\lim_{n\to \infty} U_n\) è uguale a \(\bigcap_n U_n\), ossia a \(\{\varphi-1\}\), dove \(\varphi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\).

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sulla questione "positivo" posso solo dire che dipende dalla lingua. In inglese con il termine "positive" si intende strettamente ovvero \((0,+\infty)\) così come in tedesco con il termine "positiv" s'intende pure \( (0,+\infty)\), in francese con il termine "positif" si intende \([0,+ \infty ) \), Bourbaki ad esempio diceva che zero è l'unico numero sia positivo che negativo. E questa terminologia cambia molto da lingua a lingua.
Quindi il termine inglese "positive" e rispettivamente tedesco "positiv" si traducono in francese con "strictement positif" per contro il termine "nonnegative" e "nichtnegativ" si traducono con il termine "positif".
In italiano, onestamente, non so, ma il treccani dice che lo zero si considera come ne positivo ne negativo, quindi dire numeri positivi esclude lo zero.

Ad ogni modo, siccome il testo originale era in inglese "positive" vuol dire appunto che lo zero è escluso, fine!

[axpgn]

Mah, francamente non vedo nessuno in quel link che ritenga ambiguo il termine "positivo" anzi ... che poi le cose dipendano anche dal contesto, lo sto dicendo dall'inizio, e nel contesto ci va anche il target: è diverso tenere un discorso a un bimbo dell'asilo invece cha a un liceale così come è diverso insegnare ad un ragazzo delle elementari piuttosto che ad un universitario.
E in questo contesto continuo a ritenere che il temine "positivi" non sia ambiguo.

Peraltro quello che non capisco non è questo ma questa frase

"solaàl":Però dovresti specificare "non negativi" invece di "positivi" ...

Se ritieni che "positivi" comprende anche lo zero perché dovrei sostituirlo con "non negativi"? Sarebbe la stessa cosa ...

"solaàl":Sei d'accordo che il limite di una successione, se esiste, è lo stesso di ciascuna delle sue code?

Sì.

"solaàl":Se sì, sei d'accordo che shiftare avanti o indietro di un termine ha poco effetto sul risultato. ?

No. Se per "risultato" intendi il limite, ok, ho risposto sopra.
Ma le due successioni, quella cercata e la tua proposta, sono diverse, non sono la stessa.
In quella cercata c'è il termine $1$ che nella tua non c'è. Tutto qui.

Cordialmente, Alex

[solaàl]

Lo zeresimo termine è 1, hai letto?

[axpgn]

Fin dall'inizio, ho fatto i conti diverse volte, sbaglierò ma non mi torna …

Questa è la tua successione $s_n=(-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})$ o sbaglio?

Allora, posto $n=0$ e $k=varphi-1=0.618...$ abbiamo …

$s_n=(-1)^{n-1}*(F_n - k * F_{n+1})$

$s_0=(-1)^{0-1}*(F_0 - 0.618 * F_{0+1})$

$s_0=(-1)^{-1}*(F_0 - 0.618 * F_{1})$

$s_0=1/(-1)*(0 - 0.618 * 1)$

$s_0=(-1)*(- 0.618)$

$s_0= + 0.618 != 1$

Cordialmente, Alex

[solaàl]

\(s_0=1, s_n = (-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})\) per \(n\ge 1\). Ma chi se ne importa? La condizione su $k$ mica cambia.

[axpgn]

Anche questa successione è diversa da quella cercata.

Questa è la mia versione ...

L'equazione $1-w=w^2$ ha un'unica soluzione positiva che è $w=(sqrt(5)-1)/2$

Questa $w$ soddisfa tutte queste equazioni $1-w=w^2;\ \ \ w-w^2=w^3;\ \ \ …\ ;\ \ \ w^n-w^(n+1)=w^(n+2);\ \ \ … $
Quindi la successione cercata è $a_n=w^n$

Per l'unicità:
Supponiamo esista una successione $b_n$ diversa da $a_n$.
Allora esisterà un termine $k$ per cui avremo $a_k!=b_k$ e $b_k=w^k+d$ con $d!=0$
Dato che abbiamo posto $a_0=1=w^0=b_0$ allora $k>=1$

Ora, abbiamo $b_(k-1)=w^(k-1)=a_(k-1)$, quindi
$b_k=w^k+d$
$b_(k+1)=b_(k-1)-b_k=w^(k-1)-w^k-d=w^(k+1)-d$
$b_(k+2)=b_k-b_(k+1)=w^k+d-w^(k+1)+d=w^k-w^(k+1)+2d=w^(k+2)+2d$
$b_(k+3)=w^(k+3)-3d$
$b_(k+4)=w^(k+4)+5d$
$b_(k+5)=w^(k+5)-8d$
$...........$
$b_(k+p)=w^(k+p)+-C_pd$

Dato che $w_(k+p)$ tende a zero per $p -> infty$, allora, da un certo $p$ in avanti, sarà il termine $C_pd$ che determinerà il segno del generico termine $b_(k+p)$.
Ma dato che il coefficiente $C_p$ oscilla tra positività e negatività, ciò implica che $b_n$ avrebbe termini negativi contraddicendo l'ipotesi.

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Molto tempo fa avevo scritto anche su "matematicamente.it" un "paper" in cui esponevo molto stringatamente la teoria delle "sequenze linearmente dipendenti di ordine k" (dove k è un qualunque intero positivo).
Queste sono le sequenze (*) sottoposte a legge di ricorrenza del tipo:

dove [C(0), ..., C(k)] sono k+1 costanti delle quali C(0) e C(k) sono diverse da zero.
Non ho tempo di cercare dove sta quel mio antico scritto; tantomeno di ripetere quella stringata esposizione,

(*)NB. Le successioni sono funzioni discrete di dominio N (insieme dei naturali); invece le "sequenze" sono funzioni discrete di dominio Z (insieme degli interi relativi). Mentre in una successione c'è il termine iniziale (che non ha il precedente) nelle sequenze ogni termine ha sia il successivo che il precedente. Insomma: una successione non finisce mai ma ha un inizio; una seguenza non finisce e nemmeno inizia, estendendosi indefinitamente sia verso +∞ che verso –∞
----------
Il quiz attuale è un caso particolare di "sequenza linearmente dipendente di ordine 2".
Alla legge di ricorrenza

si associa il polinomio caratteristico (di secondo grado)
P(x) = x^2 + x – 1
i cui "zeri" sono
α(1).= [√(5) – 1]/2;  α(2).= –[√(5) + 1]/2,
La legge di ricorrenza è soddisfatta da
(con A e B costanti arbitrarie).
Dovendo però essere i termini tutti positivi ed in particolare a(0) = 1, basterà prendere A = 1 e B = 0 .
Dunque;
<[size=120]Per ogni n appartenente a Z: a(n) = {[√(5)–1]/2}^n[/size]>.
Risulta allora a(n+1) = {[√(5)–1]/2}·a(n) e a(n+2) = [[√(5)-1]/2}·a(n+1).
Siccome il reciproco di [√(5) – 1]/2 è [√(5) + 1]/2, si verifica subito che vale la richiesta legge di ricorrenza.
Infatti, per ogni n intero :
a(n) – a(n+1) = a(n+1)·{[√(5)+1]/2 - 1} = a(n+1)·{[√(5)–1]/2} = a(n+2).
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Ciao Alex.
Ciao a tutti
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