Una proprietà di un numero finito di primi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sia \( p_n \) l'\(n\)-esimo numero primo. Diciamo che \(p_n = a_k \cdot 10^{k}+ a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 +a_0 \cdot 10^0 \) è la sua rappresentazione in base \(10\).

i) Trovare due numeri primi \(p_n\) tale che \( \prod_{j=0}^{k} a_j = n \)

ii) Dimostra che se vale \[ \prod_{j=0}^{k} a_j = n \]
allora necessariamente \(p_n < 10^{45} \)

[axpgn]

Beh, uno è ...

$17$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Un altro è ...

$73$

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Esatto! Riesci a trovarne anche un terzo?
Non sforzarti troppo, potresti perdere molto tempo

[axpgn]

Non preoccuparti, ho già smesso

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Immagino che per cercarli tu abbia utilizzato questa proprietà + il terzo numero in spoiler, siccome immagino che nessuno abbia voglia di cercarlo

Se \(p_n \) è un numero primo con quella proprietà allora \( n=2^a 3^b 5^c 7^d \) per qualche \( a,b,c,d \in \mathbb{N} \).
Comunque sia l'altro è
\[ p_{181440} = 2475989 \]