Una proprietà delle terne pitagoriche

[Cantor99]

Siano $x$, $y$ e $z$ tre interi positivi, primi tra loro, tali che $x^2+y^2=z^2$. Posto $x$ l'intero pari, dimostrare che $x+z$ e $z-x$ sono sempre quadrati perfetti.
La proprietà continua a valere se $x$,$y$ e $z$ sono numeri razionali?

Buon divertimento

[kobeilprofeta]

Se $x$ è pari, allora $y$ e $z$ sono entrambi pari o entrambi dispari. Tutti pari non può essere, altrimenti avrebbero il 2 come divisore in comune, quindi $y,z$ sono dispari.
$y^2=z^2-x^2=(z-x)*(z+x)$
Per assurdo, non siano quadrati perfetti.
Avranno allora un fattore $k$ in comune. Infatti il fattore $k$ deve presentarsi due volte nel prodotto, essendo $y^2$ un quadrato perfetto.
Ma se $z-x=d*k$ e $z+x=s*k$, allora $2z=(z+x)+(z-x)=(s+d)*k$ e $2x=(z+x)-(z-x)=(s-d)*k$. Ma questo non può essere perchè per ipotesi $x,z$ sono primi tra loro.

[Cantor99]

Molto interessante la tua dimostrazione @kobeilprofeta

Ti propongo la mia (relativamente alla prima domanda)

Sotto le condizioni imposte $x$, $y$ e $z$ compongono una terna pitagorica primitiva: dunque esistono due interi $p$ e $q$ primi tra loro, con $p>q$ tali che
$x=2pq$
$y=p^2-q^2$
$z=p^2+q^2$

Essendo $x$ pari avremo che
$x+z=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2$
e
$z-x=p^2-2pq+q^2=(p-q)^2$

[Erasmus_First]

"Cantor99":[...]La proprietà continua a valere se $x$,$y$ e $z$ sono numeri razionali?

In generale no di certo!
Per esempio, se $[a, b, c]$ è una terna pitagorica primitiva con $a$ cateto pari e $c$ ipotenusa, per cui $a+c$ è il quadrato di un intero, la terna $[x, y, z] = [kc, kb, kc]$ è pitagorica per ogni $k$ intero positivo ma, ovviamente:
$x + z = k(a+c)$
è quadrato di un intero SOLO se anche $k$ è quadrato d'un intero.
Esempio terra-terra. In [3,4, 5] hai $5+4 = 3^2$ e $5-4=1^2$
Ma se moltiplichi tutto per 3 ottenendo [9, 12, 15] hai $15+12 =27 = 3·3^2$ e $15-12 = 3 = 3·1^2$.
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Quanto alla prima domanda, preferisco mettere qualsiasi terna pitagorica primitiva nella forma
$[x, y, z] = [pq, (p^2 - q^2)/2, (p^2 + q^2)/2]$
dove $p$ e $q$ sono interi dispari senza fattori comuni tranne 1 e $p > q ≥ 1$.
Messa la terna pitagorica primitiva in questa forma, la tesi da dimostrare ... è IMMEDIATA!
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[Erasmus_First]

"Cantor99": [...] due interi $p$ e $q$ primi tra loro, con $p>q$ tali che
$x=2pq$
$y=p^2-q^2$
$z=p^2+q^2$

Occhio: Non bastano le condizioni che hai messo per $p$ e $q$!
Se $p$ e $q$ non sono uno pari e l'altro dispari la tua terna pitagorica non è primitiva.
Se $p$ e $q$ sono entrambi dispari o entrambi pari, quale dei due cateti (entrambi pari) è il tuo x ?
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P.S. (Editando)
Per esempio, con $p=5$ e $q=3$ ottieni la terna $[30, 16, 34]= 2·[15, 8, 17]$.
E con $p=5$ e $q=1$ ottieni $[10, 24, 26] = 2·[5, 12, 13]$,
In entrambe [15, 8, 17] e [5, 12, 13] – terne pitagoriche primitive – il tuo $x$ è la 2ª componente della terna (e $z$ la 3ª).
Ma se fai il doppio ottenendo rispettivamente [30, 16, 34] e [10, 24, 26], in entrambe bisogna prendere per $x$ la prima componente.
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[Erasmus_First]

@ Cantor99
Se [x, y, z] è una terna pitagorica primitiva di "cateti" x e y e di "ipotenusa" z, (ossia: x, y e z sono interi positivi con massimo comune divisore 1 tali da dare $x^2+y^2=z^2$), dei due "cateti" x e y uno è divisibile per 4 e l'altro è dispari.

Della terna pitagorica primitiva $[x, y, z]$ sia $x$ il "cateto" pari (divisibile per 4) e sia $y$ quello dispari.
Tu ci hai chiesto di verificare la notevole proptrietà che allora $z+x$ e $z-x$ sono entrambi quadrati di interi.
Beh: è notevole anche che $(z+y)/2$ e $(z-y)/2$ sono entrambi quadrati di interi.
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