Una funzione in $\RR^2$
Parto da una cosa, diciamo, semplice, prego di dare la precedenza ai ragazzi delle superiori o, in generale, di spoilerizzare le vostre soluzioni. Più che altro voglio vedere quante diverse se ne possono dare.
Dimostrare o confutare che, scelti $(x,y) \in \RR^2$, la funzione
$f(x,y)=(p^x)/(q^y)$
è iniettiva con $p$ e $q$ numeri primi differenti tra loro.
Ho in mente una serie di rilanci per questo quesito, almeno per ora facile. Poi andrò al lavoro e me li dimenticherò tutti questi rilanci...!
Comunque vedrò quando farli e, in generale, inviterò chiunque a fare rilanci se avrà qualche idea interessante da proporre come quesito.
Dimostrare o confutare che, scelti $(x,y) \in \RR^2$, la funzione
$f(x,y)=(p^x)/(q^y)$
è iniettiva con $p$ e $q$ numeri primi differenti tra loro.
Ho in mente una serie di rilanci per questo quesito, almeno per ora facile. Poi andrò al lavoro e me li dimenticherò tutti questi rilanci...!
Comunque vedrò quando farli e, in generale, inviterò chiunque a fare rilanci se avrà qualche idea interessante da proporre come quesito.
Risposte
"Plepp":
[...] il prodotto cartesiano di due insiemi aventi la potenza del continuo ha esso stesso la potenza del continuo. In particolare, quindi, $RR$ e $RR^2$ hanno la stessa cardinalità.
[...]
... due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste un'applicazione biunivoca tra di essi
Scusa, Plepp. Non replico per il gusto di ... "rompere", bensì per capire (dato che ... come stanno certe cose non mi ricordo più!).
Tu dai per scontato quello che io vorrei mi fosse spiegato.
Mi pare che quel che dici sia un tantino ... "dogmatico"!
Perché il "continuo" dovrebbe essere un tipo di "cardinalità"?
Insomma: mi pare che, con parole diverse, ripeti ancora "gratuitamente" quello che già avevi detto.
Se così fosse il numero di dimensioni non conterebbe!
[O – se preferisci – se è così il numero di dimensioni non conta).
Supponiamo, infatti, che qualcuno riesca ad inventare una funzione z = f(x, y) che mette in corrispondenza biunivoca l'insieme "continuo" $RR$ con l'insieme "continuo" $RR^2$.
Allora con la stessa funzione f, scrivendo semplicemente w = f(z, u) – dove z = f(x, y) e u è un reale qualsiasi, si instaurerebbe una corriaspondenza biunivoca tra $RR$ ed $RR^3$; e ripetendo a volontà il giochino si instaurerebbe una corrispondenza biunivoca tra $RR$ ed $RR^n$ con n intero positivo grande a piacere!
Beh; io non ci credo!
E continuerò a non crederci fino a quando tu o qualcuno della tua stessa idea non mi porterà un esempio di funzione biunivoca di dominio $RR^2$ e immagine inclusa in $RR$ o coincidente con $RR$-
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Si può mappare \([0,1]\) nel quadrato unitario \(Q\) di \(\mathbb{R}^2\) attraverso un'applicazione (continua e) suriettiva; questo mostra che la cardinalità di \(Q\) è minore o uguale a quella di \([0,1]\). Chiaramente, non può essere minore.
Per convincere Erasmus:
Proposizione. $\mathbb{R}^2$ è equipotente a $\mathbb{R}$.
Proposizione. $\mathbb{R}^2$ è equipotente a $\mathbb{R}$.
- Dimostrazione.
Per dimostrarlo possiamo notare in primis che si può ridurre il problema a dimostrare l'equipotenza tra $[0,1]^2$ e $[0,1]$, e ancor di più, tra $(0,1]^2$ e $(0,1]$ (suppongo sia nota l'equipotenza di questi rispettivamente a $\mathbb{R}^2$ ed $\mathbb{R}$, è piena la rete di dimostrazioni).
In più, per il Teorema di Schröder - Bernstein basta dare due funzioni $f:(0,1]^2 \rightarrow (0,1]$ e $g:(0,1] \rightarrow (0,1]^2$ iniettive per ottenere la tesi.
Dare $g$ è semplice, basta la mappa $g(x)=(x,0)$ che è certamente iniettiva.
Dare $f$ è un po' più complesso. Useremo una tecnica chiamata "interleaving digit". In pratica, dati due numeri in rappresentazione decimale nell'intervallo $(0,1]$, inseriamo le cifre dell'uno tra le cifre dell'altro in modo "alterno".
Facciamo un esempio per essere più chiari:
siano $x=0.a_1a_2a_3a_4...$ e $y=0.b_1b_2b_3b_4...$. Dopo l'interleaving digits, perveniamo ad un $z=0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3...$
Definiamo la funzione $f$ come la funzione che associa a un punto in $(0,1]^2$ il punto in $(0,1]$ ottenuto tramite l'interleaving digit delle due componenti: nella notazione precedente, $f(x,y)=z$. E' facile verificare che la funzione $f$ è iniettiva.
Ma allora abbiamo dato due funzioni iniettive che soddisfano le ipotesi del Teorema di Schröder - Bernstein, quindi esiste una biezione tra $(0,1]^2$ e $(0,1]$, ossia sono equipotenti. Per catene di equipotenze, lo sono anche $\mathbb{R}^2$ ed $\mathbb{R}$. \(\blacksquare \)[/list:u:snr4h9ws]
Penso questo sia il meglio che posso fare, una esplicita tra $\mathbb{R}^2$ ed $\mathbb{R}$ non è così facile, anche se forse si può continuare ad usare l'interleaving digit con qualche modifica...
EDIT: In riguardo all'equipotenza di $\mathbb{R}^n$ ed $\mathbb{R}$: è esattamente come hai descritto tu. L'unico insieme di questo tipo che ha cardinalità maggiore, $\aleph_2$, è l'insieme $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, l'insieme delle funzioni da $\mathbb{R}$ in sé. Curioso invece che il sottoinsieme di quest'ultimo composto dalle funzioni continue abbia la cardinalità del continuo $\aleph_1$.
Avevo iniziato a rispondere a Rigel, ma poi ho sospeso ... per pranzare!
Vedo ora che, nel frattempo, è intervenuto anche Frink.
Ringrazio entrambi che hanno risposto apposta per me.
–––––––––––––––––––
Dai: se magari sprechi 5 righe invece di 2 soltanto le mie vecchie meningi faticano di meno.
Sono andato a leggere dove manda il tuo link ... e da qui ad altri link contenuti nella pagina [di Wikipedia] raggiunta col primo [tuo] link.
[In particolare sono andato a leggermi la Curva di Peano, l'Insieme di Cantor e la voce "omeomorfismo"].
Devo dunque ricredermi.
Ma lo faccio più per fiducia in qualche autorevole "Ipse dixit" che per vera comprensione.
Sì: più per fiducia in ipsis qui dixerunt (tra i quali ho già messo da qualche tempo anche Rigel) che per aver capito veramente la portata di questi discorsi, che adesso sono vecchi di un secolo abbondante ma ai miei tempi erano ... di mezza età (di quella che hanno ora).
[Ho frequentato "Analisi 1" – docente il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni – nell'a. s. 1955/56]
Devo ormai rassegnarmi al fatto che sono troppo vecchio per imparare approfonditamente nozioni di tale portata.
––––––––––––
Ringrazio Frink che, invece, si è dilungato parecchio, sforzandosi – mi pare – di mettersi nei miei panni.
Certo: la rete è piena di discorsi attinenti a questa questione.
Ma uno come me, navigando di qua e di là (di link in link), rischia pure di naufragare.
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Vedo ora che, nel frattempo, è intervenuto anche Frink.
Ringrazio entrambi che hanno risposto apposta per me.
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"Rigel":Stringatissimo come sempre!
Si può mappare \([0,1]\) nel quadrato unitario \(Q\) di \(\mathbb{R}^2\) attraverso un'applicazione (continua e) suriettiva; questo mostra che la cardinalità di \(Q\) è minore o uguale a quella di \([0,1]\). Chiaramente, non può essere minore.
Dai: se magari sprechi 5 righe invece di 2 soltanto le mie vecchie meningi faticano di meno.
Sono andato a leggere dove manda il tuo link ... e da qui ad altri link contenuti nella pagina [di Wikipedia] raggiunta col primo [tuo] link.
[In particolare sono andato a leggermi la Curva di Peano, l'Insieme di Cantor e la voce "omeomorfismo"].
Devo dunque ricredermi.
Ma lo faccio più per fiducia in qualche autorevole "Ipse dixit" che per vera comprensione.
Sì: più per fiducia in ipsis qui dixerunt (tra i quali ho già messo da qualche tempo anche Rigel) che per aver capito veramente la portata di questi discorsi, che adesso sono vecchi di un secolo abbondante ma ai miei tempi erano ... di mezza età (di quella che hanno ora).
[Ho frequentato "Analisi 1" – docente il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni – nell'a. s. 1955/56]
Devo ormai rassegnarmi al fatto che sono troppo vecchio per imparare approfonditamente nozioni di tale portata.
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Ringrazio Frink che, invece, si è dilungato parecchio, sforzandosi – mi pare – di mettersi nei miei panni.
Certo: la rete è piena di discorsi attinenti a questa questione.
Ma uno come me, navigando di qua e di là (di link in link), rischia pure di naufragare.
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Prego il moderatore di cancellare questo messaggio.
Grazie.
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"Frink":
EDIT: In riguardo all'equipotenza di $ \mathbb{R}^n $ ed $ \mathbb{R} $: è esattamente come hai descritto tu. L'unico insieme di questo tipo che ha cardinalità maggiore, $ \aleph_2 $, è l'insieme $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $, l'insieme delle funzioni da $ \mathbb{R} $ in sé. Curioso invece che il sottoinsieme di quest'ultimo composto dalle funzioni continue abbia la cardinalità del continuo $ \aleph_1 $.
$\aleph_1$ non indica la cardinalità del continuo (che è $2^{\aleph_0}$) ma il cardinale successore di $\aleph_0$, così come $\aleph_2$ non indica quella di $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ (che è $2^{2^{\aleph_0}$).
"_fabricius_":
$\aleph_1$ non indica la cardinalità del continuo (che è $2^{\aleph_0}$) ma il cardinale successore di $\aleph_0$, così come $\aleph_2$ non indica quella di $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ (che è $2^{2^{\aleph_0}$).
Hai ragione, assumo l'ipotesi del continuo (generalizzata)
Meglio così?
Post interessantissimi sotto ogni punto di vista ma a questo punto chiedo a qualche personaggio con il nick di colore diverso dal blu di spostare questo thread nella sezione "pensare un po' di più" perché trascendiamo tanto le secondarie. 
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