Una fila di triangoli

[axpgn]

Data una fila di triangoli equilateri di lati $1, 3, 5, ...$, posizionati con la base su una stessa retta ed un vertice in comune, dimostrare che i vertici (quelli opposti alla base) giacciono su una parabola e sono tutti a distanza intera dal suo fuoco.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Ricordiamo che $n^2=\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$, allora ogni vertice opposta alla base ha coordinate
$V_n=(n^2-\frac{2n-1}{2}, \sqrt{3}/2 (2n-1))$
Da cui si ricava che
$x=y^2/3+1/4$
La cui direttrice $d$ ha equazione $x=-1/2$ dunque basta calcolare la distanza tra un punto $P$ della parabola e la direttrice che è uguale a
$dist(d,P)=|y^2/3+3/4|=\frac{(2n-1)^2+3}{4}=n^2-n+1$

[axpgn]

Perfetto!


Cordialmente, Alex

[gugo82]

@ axpgn: Problema carino, ma secondo me il testo va limato... Dire "con un vertice in comune" non è corretto, poiché porterebbe a pensare ad una situazione in cui tutti i triangoli hanno in comune un vertice (nel disegno, il primo a sinistra) ed in tal modo i vertici "alti" sarebbero allineati tutti su una semiretta uscente da tale vertice -se i triangoli fossero disegnati tutti nello stesso semipiano- oppure su due semirette -nel caso opposto-.

Basta dire che le basi sono "consecutive", e passa la paura.

[axpgn]

Mi fa piacere il tuo intervento per molti motivi, primariamente perché me lo aspettavo
Non tanto da te in particolare ma da qualcuno sicuramente
Sembrerà strano ma prima di proporre un problema, ogni volta penso e ripenso al testo perché deve essere preciso e corretto ma anche "carino" ed è una "faticaccia" (si fa per dire ) ottenere entrambe le cose (anche perché il 99% delle volte li devo tradurre ed inoltre molto spesso li rielaboro).
L'ambiguità che sottolinei l'avevo notata subito (mi sono immaginato tutti i triangoli appesi ad un chiodo ) ma dopo vari ripensamenti ho preferito lasciare il testo così ed aggiungere il disegno e usare la locuzione "fila di triangoli" per rendere l'idea (così come ho aggiunto "quelli opposti alla base" che dovrebbe essere ovvio dal testo ma formalmente necessario).

La cosa però che mi colpisce maggiormente però è un'altra: molti dei miei quesiti (qui ma anche nella stanza dei giochi) sono decisamente vecchi (questo ha almeno un secolo) e noto che un tempo non si ponevano tutte queste domande e dato che non erano sicuramente dei superficiali, mi domando come facevano a capirsi senza ambiguità.

Il teso originale è questo:

"Equilateral triangles whose sides are 1, 3, 5, ... are placed so that their bases lie corner to corner in a straight line.
Show that the vertices lie upon a parabola and are all at integral distances from its focus."


Cordialmente, Alex

[gugo82]

Lo stesso faccio io, Alex, sia quando invento sia quando traduco/adatto.
In questo caso, per esempio, io non avrei tradotto "corner to corner" con "un vertice in comune", proprio per evitare ambiguità; avrei preferito "consecutivamente", tanto per dire.

Poi, non è che un secolo fa questi problemi non si ponessero; è che il gergo, in un secolo, fortunatamente, cambia.

[axpgn]

Thanks