Una Disuguaglianza

[Pachisi]

Vi propongo il seguente quesito.

Siano $p$,$q$ e $r$ numeri reali non-negativi tali che $p+q+r=1$. Dimostrare che $7(pq+qr+rp)<=2+9pqr$.

[xXStephXx]

Una via bruttina ma funzionante dovrebbe essere quella di considerare l'espressione

$(k-hp)(k-hq)(k-hr)$ dove $k$ e $h$ sono coefficienti opportuni, e fare media geometrica $<=$ di media aritmetica su quest'ultima. Probabilmente viene con $k=7/{3^{4/3}}$ e $h=3^{2/3}$

[Pachisi]

Io ho fatto in un altro modo, sempre usando le medie. Aspetto qualche giorno, e poi la posto.

[Erasmus_First]

"Pachisi":Siano $p$,$q$ e $r$ numeri reali non-negativi tali che $p+q+r=1$. Dimostrare che $7(pq+qr+rp)<=2+9pqr$.

Metto la disuguaglianza nella forma:
(*) $F(p, q, r) = 7(pq+qr+rp) - 9pqr ≤ 2$.
Dati i caratteri di simmetria della funzione $F(p, q, r) = 7(pq+qr+rp) - 9pqr$, gli eventuali estremanti in $RR^3$ capitano per $p = q = r$.
In questa direzione – posta x una delle tre coordinate tra loro uguali – la funzione
$f(x) =F(x, x, x) = 7·3x^2 – 9x^3$
ha il minimo in $x = 0$ (dove è nulla) ed il massimo in $x = 14/9$ dove vale
$F(14/9, 14/9, 14/9) = 3*7*(14/9)^2 - 9*(14/9)^2 =(2^2*7^3)/3^4 ≈ 16,9$.

In realtà il dominio di $F(p, q, r)$ è il tetraedro delimitato dai quattro piani di rispettive equazioni:
$p = 0; q = 0; r = 0; p + q + r = 1$.

Non essendoci estremanti nei punti interni al dominio, basterà considerare l'andamento della funzione F sul contorno.
Sempre a causa dei caratteri di simmetria, basterà allora considerare;
• I quattro vertici, in ciascuno dei quali (essendo nulle almeno 2 delle tre variabili) la funzione F è nulla;
• il centro della faccia triangolare equilatera $p = q = r = 1/3$ dove $F = 7*3/9 – 9/27 = 7/3 - 1/3 = 2$;
• I tre punti con una variabile nulla e le altre due uguali, cioè: $[0, 1/2, 1/2]; [ 1/2, 0, 1/2]; [ 1/2, 1/2, 0]$ in ciascuno dei quali:
$F = 7/4 = 2 – 1/4 < 2$.
Pertanto il massimo assoluto di $F(p, q, r)$ è $F(1/3, 1/3, 1/3) = 2$, (e la disuguaglianza (*) è verificata)-

NB.
Ho modificato perché mi sono accorto d'aver commesso un errore ... (dimenticato un 3 per strada ).
[ $ 7x^2 - 9x^3$ invece di $7·3x^2 – 9x^3$.
Però l'errore, [riguardando il massimo in $RR^3$ che sta in un punto con p + q + r > 1], non inficiava il risultato.

[Pachisi]

@Erasmus_First

Essendo in secondo (in un liceo dove vi sono solo quattro anni) non e` che io ci abbia capito molto. Proverò a leggerla nuovamente dopo...

[xXStephXx]

Oppure, se sei convinto che $7pq+7pr+7qr-9pqr$ ammette massimo, puoi dimostrare che il massimo lo ottieni davvero con $p=q=r$ e da lì concludere che lo ottieni con $p=q=r=1/3$.

Infatti il valore che ottieni con $(p,q,r)$ con $p\ne q$ è minore di quello che ottieni con $({p+q}/2, {p+q}/2, r)$ (semplice verifica). Quindi il massimo lo ottieni per forza quando sono tutti uguali.

PS: si assume $p,q,r \leq 7/9$, ma in caso contrario otterresti solo valori negativi..... (nell'espressione dell'altro messaggio )

[Erasmus_First]

@Pachisi.

Fai appena il secondo anno?
Allora ... sei forte!
Dal tipo di quiz che hai postato (per esempio quelli delle serie, cioè somme di un numero infinito di addendi), ti facevo almeno universitario (e forse già laureto).
NB.
In realtà io non ho considerato la condizione p + q + r = 1, bensì p + q + r ≤ 1.
Mi rendo conto che il considerare una funzione a tre variabili [e quindi con un dominio che, in coordinate cartesiane, è una parte dello spazio tridimensionale], richiede conoscenze che si imparano negli anni successivi al secondo.

Non sono molto bravo a distinguere i livelli di preparazione scolastica!
Se affronto un problema, vado avanti con quel che so prescindendo da dove o da quando l'ho imparato ...

In sostanza, ho trovato il massimo assoluto dell'espressione
$7(pq + qr + rp) – 9pqr$
con le condizioni
$p ≥ 0; q ≥ 0; r ≥ 0; p+ q + r ≤ 1$.
[Cioè, in coordinate cartesiane, nel tetraedro che fatto come quello che si ottiene ricavandolo da un cubo di spigolo 1 con un taglio piano che passa per tre vertici alla stessa distanza da un quarto vertice].
Ho trovato che il massimo assoluto capita per $p = q = r = 1/3$ e perciò vale:
$7*3*(1/9) – 9*(1/27) = 7/3 – 1/3 = 6/3 = 2$.
Dunque, la tua disuguaglianza ... è perfetta!

Ciao, ciao ...e tanti, tanti auguri matematici!
[Continua così che vai benone!]

[Pachisi]

@xXStephXx
Premesso di non averci provato, anche quello puo` andare bene.

@Erasmus_First

Ti ringrazio per i complimenti (così tanti complimenti in un unico messaggio non credo di averli ricevuti ) .
Diciamo che, piu` o meno, ho capito il metodo che hai usato.
Anche a te, auguri matematici.

[Pachisi]

Posto la mia dimostrazione (sperando che vada bene):

Essendo $ p+q+r=1 $ per AM-GM si ha $ (p+q+r)/3=1/3>= (pqr)^(1/3)$. Dunque $ pqr<=1/27 $. Notiamo che $ p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+rq+rp) $. Per QM-AM (dove QM e` la media quadratica data da $sqrt((x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)/n)$, che e` maggiore o uguale della media aritmetica degli stessi elementi) si ha $ sqrt((p^2+q^2+r^2)/3)>=(p+q+r)/3=1/3$. Dunque, svolgendo i calcoli, abbiamo $p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+rq+rp)>=1/3$, ossia $pq+rq+rp<=1/3$. Da qui si conclude notando che i valori ricavati sopra sono i valori massimi delle espressioni, e dunque il massimo di $ 7(pq+pr+qr)-9pqr $ sara $ 2$. Da cio` segue la disuguaglianza iniziale.

[xXStephXx]

Non so se ho ben capito. La cosa che non mi quadra è che per massimizzare $7(pq+pr+qr)-9pqr$ dovresti massimizzare $7(pq+pr+qr)$ e minimizzare $9pqr$, ma massimizzi entrambi o sbaglio?

[Pachisi]

Infatti credo di aver sbagliato.

[Pachisi]

Forse ci sono riuscito ora...:

Dalla condizione $p+q+r=1$, elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene $p^2+q^2+r^2+2(pq+rp+rq)=1$, ossia $pq+rp+rq=(1-(p^2+r^2+q^2))/2 $.
Ora, si consideri il prodotto $(p-1)(q-1)(r-1)$. Per AM-GM, si ha $((p-1)+(q-1)+(r-1))/3=-2/3>=[(p-1)(q-1)(r-1)]^(1/3)$. Dunque, $(p-1)(q-1)(r-1)=pqr-(pq+qr+rp)<=(-2/3)^3=-8/27$. Usando l'espressione ricavata prima per $pq+rp+rq$, si ha
$ pqr-(1-(p^2+r^2+q^2))/2<=-8/27$. Dunque, occorre massimizzare $pqr$ e minimizzare $(1-(p^2+r^2+q^2))/2$; quest'ultima espressione e` minimizzata per $p^2+q^2+r^2$ minimo che, per QM-AM, e` di $1/3$. Notiamo che $pqr$ ha valore massimo di $1/27$. Notiamo che la disuguaglianza e` soddisfatta per questi estremi, e dunque, mentre $pqr$ decresce e $(1-(p^2+r^2+q^2))/2$ cresce, la loro differenza decresce e, allora, sara` sempre minore di $-8/27$.
Che dici, va bene?

[xXStephXx]

"Pachisi":$((p-1)+(q-1)+(r-1))/3=-2/3>=[(p-1)(q-1)(r-1)]^(1/3)$

Questa disuguaglianza è invertita. AM-GM la puoi applicare solo quando i termini sono tutti non negativi. (Nel mio primo messaggio non l'ho verificato esplicitamente, ma in quel caso se un termine fosse negativo lo sarebbe tutto il prodotto e di conseguenza non massimizzo).

In questo caso vale che:

$((1-p)+(1-q)+(1-r))/3=2/3>=[(1-p)(1-q)(1-r)]^(1/3)$
e quindi $-2/3<=[(p-1)(q-1)(r-1)]^(1/3)$

[Pachisi]

Non sapevo quel fatto sulla AM-GM.
(Grazie per le tue correzioni)
Credo che a questo punto, opterei per la tua seconda soluzione (a meno che non mi venga in mente una soluzione, giusta; dubito di cio`...).

[xXStephXx]

Però per far quadrare la seconda mi pare servisse che $p,q,r \le 7/9$ e questa considerazione la saprei giustificare solo dopo aver fattorizzato come nella prima, tanto vale concludere con AM-GM xD A meno che non trovi un modo migliore per dirlo

[totissimus]

\(f=7(pq+pr+qr)-2-9pqr=7\left[p(1-p-r)+pr+(1-p-r)r\right]-3-9pr(1-p-r)\)

\(f=(9p-7)r^{2}+(9p^{2}-16p+7)-7p^{2}+7p-2\)

\(f=(9p-7)r^{2}+(9p-7)(p-1)r-7p^{2}+7p-2\)

\(f=(9p-7)(r+p-1)r-7p^{2}+7p-2\)

Risulta che \(-7p^{2}+7p-2<0\) per ogni $p$

Per \(0\leq p\leq\frac{7}{9} \) risulta immediato che \( f <0\)

Per $\frac{7}{9} $f\leq(9p-7)(1+p-1)1-7p^{2}-7p-2=(9p-7)p-7p^{2}+7p-2=$
$=9p^{2}-7p-7p^{2}+7p-2=2p^{2}-2=2(p^{2}-1)\leq0$