Un ventaglio giapponese

[axpgn]

Girovagando in rete, mi sono imbattuto in questo ...



È un problema giapponese vecchio di un paio di secoli; si tratta di trovare il diametro approssimato dei cerchi verdi in funzione del diametro dei cerchi gialli e l'unico dato è l'ampiezza del ventaglio: un terzo di cerchio.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$ 0.60842293182... $

Ciao

[orsoulx]

Però il valore 'esatto' mi è più simpatico

$ 2/(31-16sqrt 3)$

Ciao

[axpgn]

Però mi devi spiegare come ci sei arrivato ...

La soluzione che ho io (che metto in spoiler) mi viene data come approssimata anche se è identica alla tua come valore ...

$d_2~~d_1*(sqrt(3072)+62)/193$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Alla soluzione approssimata, brutalmente con Geogebra (mi dava ancora tre o quattro cifre che ho omesso per sicurezza, invece era sbagliata solo l'ultima). Poi questa mattina, preso da raptus calcolistico, ho rifatto i passaggi a manina.
Non capisco perché il sito da cui hai preso il problema (sembra un sangaku)) dia il risultato come approssimato: l'espressione fornita non è altro che la razionalizzazione della mia. Boh??
In spoiler l'elenco dei passaggi (se ti serve di più, dimmelo)

Origine O nel vertice del ventaglio; circonferenza di centro O e raggio 8; A il punto più elevato del ventaglio (intersezione della circonferenza con il semiasse delle ordinate positive); B il punto medio di OA; y=4 la retta che divide in due parti il ventaglio; C e D le sue intersezioni con la circonferenza.
Una circonferenza gialla ha il centro nell'intersezione della bisettrice di BCO con la parabola di fuoco O e vertice B: il suo raggio è $ 12(7-4sqrt(3)) $.
E centro della circonferenza blu di raggio 2; una circonferenza rossastra ha il centro nell'intersezione della parabola di fuoco E e vertice B con l'ellisse, di fuochi O e E, passante per A, il suo raggio è $ 3/2 $.
Con GeoGebra ho determinato il centro di una circonferenza verde ancora con le ellissi (una è quella usata prima); a manina ho preferito usare il T. di Descartes, visto che i raggi delle tre circonferenze cui deve essere tangente erano numeri semplici $ -8; 2; 3/2 $: raggio trovato $ 24/(25+12sqrt(3)) $.
E per finire, rapporto fra i raggi delle due.

Ciao

[axpgn]

"orsoulx":... (sembra un sangaku) ...

Sì.

Ho compreso il perché di quasi tutto ... mi manca la seconda ellisse che hai usato per trovare il centro dei cerchi verdi, quale sarebbe?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Ho compreso il perché di quasi tutto ...

Sei bravo, visto che, rileggendo adesso quel che ho scritto, mi sono accorto di aver dimenticato di dire dove stava il punto A. Andrò ad integrare!

Se due circonferenze sono tangenti internamente, il centro di una terza tangente ad entrambe deve stare sull'ellisse che ha per fuochi i centri delle due, passante per il loro punto di tangenza.
Se, invece, le circonferenze sono tangenti esternamente, sull'iperbole con le medesime condizioni.
Perciò vi sono due strade possibili (con F centro della circonferenza rossastra):
ellisse di fuochi O ed F passante per il punto di tangenza;
iperbole di fuochi E ed F passante per il punto di tangenza.

Da ieri non riesco a togliermi dalla testa il dubbio che ti ho esposto: che senso ha indicare come approssimata una soluzione esatta?
Capisco il contrario, per superficialità. Esempio la lunghezza della circonferenza si trova moltiplicando per 3.14 il diametro.
Capisco i 'geni incompresi'. Esempio l'avvocato Russo, sostiene decine di volte che i risultati del suo metodo coincidono al milionesimo o al miliardesimo con quelli delle formule 'ufficiali', quando le sue non sono altro che una riscrittura delle medesime. Gli serve per 'provare' l'esattezza delle sue intuizioni.
Però, in questo caso? A meno che, trattandosi di un sangaku, ci sia una differenza fra la soluzione originale della tavoletta (di stile nipponico) e quella di chi ha divulgato il problema.
Puoi vedere se scovi qualche indizio?
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":... Puoi vedere se scovi qualche indizio? ...

A dir la verità la parola "approssimato" ce l'ho messa io, interpretando in questo modo la doppia tilde scritta nella soluzione (che è esattamente quella che ho riportato); del resto, in altre parti del testo l'autore usa il solito segno di "uguale" per le uguaglianze quindi non credo di aver interpretato male ... a meno che nella tavoletta originale fosse scritto in quel preciso modo ... anch'io ero rimasto perplesso, quando dai una soluzione in "quel" modo si intende "precisa" ed è ovvio che invece il calcolo è approssimato ...

"orsoulx":... mi sono accorto di aver dimenticato di dire dove stava il punto A. ...

Me ne ero accorto e volevo chiedertelo ma era più divertente capirlo da solo ... ...

[axpgn]

Ho trovato questo documento della Mathesis che riporta una soluzione alternativa, a scopo prevalentemente didattico.

Cordialmente, Alex