Un triangolo isoscele ...speciale

[Sk_Anonymous]

Sopra i lati AB ed AC del triangolo ABC si costruiscano, esternamente al triangolo, i triangoli rettangoli isosceli ABD e AEC, aventi come ipotenusa AB ed AC rispettivamente. Detto F il punto medio del lato BC , si dimostri che il triangolo DEF è anch'esso rettangolo ed isoscele.

[xXStephXx]

l-isola-del-tesoro-t104129.html

[Sk_Anonymous]

Anch'io conosco una storiella: è quella della volpe e dell'uva. Certamente la sanno tutti e quindi non la racconterò !

[xXStephXx]

Molto bella! Mi spiace questo problema è decisamente acerbo! Ma se ti piace l'uva acerba te la raccolgo lo stesso!

[giammaria2]

Se i calcoli sono facili e brevi, è ammessa l'analitica? Se sì, ecco una risposta.
Scelgo assi cartesiani con origine in \(\displaystyle F \), in modo che le coordinate dei vertici siano $A(u,v),B(-a,0),C(a,0)$; detti \(\displaystyle G, L \) i punti medi di \(\displaystyle AB , AC \) sarà $G((u-a)/2,v/2),L((u+a)/2,v/2)$. Poiché \(\displaystyle DG \) è uguale e perpendicolare a \(\displaystyle BG \) si ha

${(x_G-x_D=y_G-y_B),(y_D-y_G=x_G-x_B):}->{(x_D=(u-a)/2-v/2=(-v+u-a)/2),(y_D=v/2+(u-a)/2+a=(v+u+a)/2):}$
Analogamente si ha

${(x_E-x_L=y_L-y_C),(y_E-y_L=x_C-x_L):}->{(x_E=(u+a)/2+v/2=(v+u+a)/2),(y_E=v/2+a-(u+a)/2=(v-u+a)/2):}$
e se ne deduce
${(-x_D=y_E),(y_D=x_E):}$
che dimostra che i segmenti \(\displaystyle FD \) ed \(\displaystyle FE \) sono uguali e perpendicolari.
C.V.D.

[Sk_Anonymous]

Propongo una soluzione con i vettori, non per mostrare i muscoli , ma per indicare vie diverse ( sempre di natura elementare) che ritengo interessanti.
Intanto ricordo che un vettore \(\displaystyle \vec{XY} \), orientato da X verso Y, può essere scritto simbolicamente come differenza di due punti \(\displaystyle Y-X \). Tale simbolismo è comodo anche perchè permette di eseguire operazioni sui vettori come fossero operazioni algebriche sui punti corrispondenti. Per esempio risulta:
\(\displaystyle (A-B)+(B-C)=A-C=\vec{CA} \)
\(\displaystyle (A-B)+(B-C+(C-D)=A-D=\vec{DA} \)
Ricordo anche che nel piano complesso l'unità immaginaria \(\displaystyle i \) viene considerata come un operatore che applicato ad un vettore gli fa compiere una rotazione di 90 ° ( in senso antiorario e a meno di ininfluenti traslazioni).
Ciò detto dalla figura risulta :
\(\displaystyle D-F=(D-M)+(M-B)+(B-F) \)
Ma: \(\displaystyle D-M=i(M-B)) \) e dunque si ha :
\(\displaystyle D-F=(i+1)(M-B)+(B-F) \)
Ora M ed F sono punti medi rispettivamente di AB e BC e quindi :
(1) \(\displaystyle D-F=\frac{1+i}{2}(A-B)+\frac{1}{2}(B-C) =i \left[\frac{A-B}{2}-i\frac{A-C}{2}\right]\)
Analogamente risulta :
\(\displaystyle E-F=(E-N)+(N-C)+(C-F) \)
Ma: \(\displaystyle E-N=-i(N-C)) \) e dunque si ha :
\(\displaystyle E-F=(1-i)(N-C)+(C-F) \)
Ora N ed F sono punti medi rispettivamente di AC e BC e quindi :
(2) \(\displaystyle E-F=\frac{1-i}{2}(A-C)+\frac{1}{2}(C-B) =\frac{A-B}{2}-i\frac{A-C}{2}\)
Confrontando (1) e (2) ne viene che :
\(\displaystyle (D-F)=i(E-F) \)
E da qui risulta che :
a) |D-F|=|E-F|
b) il vettore D-F è il ruotato di 90° del vettore E-F.
In conclusione il triangolo DEF è rettangolo isoscele su DE

[giammaria2]

Dopo aver trovato la mia soluzione, avevo notato che in sostanza il mio ragionamento era di tipo vettoriale ed avevo provato una soluzione simile alla tua ma l'avevo abbandonata perché mi sembrava più lunga, perché è un argomento con cui ho poca dimestichezza ed anche perché il mio computer mi mostra strani disegni al posto del simbolo di vettore.
Resta una domanda: c'è qualche bella soluzione che usi solo la geometria sintetica? Se sì, mi piacerebbe vederla.

[Sk_Anonymous]

Siano M,N,F i punti medi di AB,AC,BC rispettivamente. Ispezionando la figura allegata ed applicando teoremi noti di geometria elementare, si dimostra facilmente che i triangoli DFM ed EFN sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. Ne segue che :
\(\displaystyle (a) DF=EF \)
Inoltre dal triangolo DFM ( o da EFN) risulta che :
\(\displaystyle u+v+ \alpha+90°=180° \)
da cui abbiamo :
\(\displaystyle u+v+ \alpha =90° \)
Ma è pure :
\(\displaystyle \widehat{DFE}=u+v+\alpha \)
e dunque risulta :
\(\displaystyle (b) \widehat{DFE} =90°\)
Da (a) e (b) segue la tesi.

[giammaria2]

Bellissimo! Grazie.