Un sistema

[sercata1996]

Salve, potreste aiutarmi? Il problema è questo:
Calcola le terne di numeri reali per cui ogni numero elevato alla 4° è uguale alla somma degli altri due.

[Sk_Anonymous]

Forse intendi dire un sistema come questo:
\begin{cases} x^4=y+z\\y^4=z+x\\z^4=x+y\end{cases}
Una coppia di soluzioni può esssere la seguente:
\((0,0,0), (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})\)
A questo risultato si arriva sottraendo a due a due le 3 equazioni.
Francamente non so se ci sono altre soluzioni ( cosa possibile dato che il sistema è di grado 64 !)

[xXStephXx]

"ciromario":
Francamente non so se ci sono altre soluzioni ( cosa possibile dato che il sistema è di grado 64 !)

Lo puoi sapere però.

[sercata1996]

Come?

[xXStephXx]

Prova a supporre ad esempio $x \ne y$ e guarda cosa succede.

[kobeilprofeta]

Confermo che non ce ne sono altre

[marcoallin]

Posso provare a proporre una soluzione?

Dal sistema
\[ \begin{cases} x^4=y+z\\y^4=z+x\\z^4=x+y\end{cases} \]

ricavo, sottraendo dalla prima la seconda $x^4 - y ^4 = y - x$
scompongo in $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = y - x$
suppongo $x \ne y$ e divido $(x + y)(x^2 + y^2) = -1$
sostituisco con la terza equazione $z^4(x^2 + y^2) = -1$
che è impossibile perché al primo membro vengono moltiplicate due quantità positive.

Ripeto lo stesso ragionamento per la prima e la terza equazione e ottengo sempre un'equazione impossibile per $x \ne z$

L'unica soluzione è quindi $x = y = z$
Risolvo
$x^4 = 2x$
\(\displaystyle x = 0 \vee x = \sqrt[3]{2} \)

da cui le due terne \( (0,0,0), (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) \)

Ce ne sono di più eleganti?