Un semplice problemino...

[Pianoth]

Non so se è stato già proposto in questo sito, comunque per chi delle superiori non conosce questo problema penso che possa non troppo difficilmente risolverlo:

Dimostrare che $AA n in NN$, con $n>1$, $n^4+4^n$ non è un numero primo.

Nota: lo potrebbe risolvere anche un alunno di prima superiore!

[Luca114]

$n^4$ è divisibile per $n$ e $4^n$ è divisibile per $4$. Sarebbe una buona idea "spostarsi" nel dimostrare che, in generale, la somma di due numeri non primi non è un numero primo? Complicherei o semplificherei la cosa?

[Sk_Anonymous]

"Luca":[...] nel dimostrare che, in generale, la somma di due numeri non primi non è un numero primo? [...]

Questo è falso: \(4\) e \(9\) non sono primi, ma \(4+9=13\) è un primo.

[theras]

@Pianoth.
Il quesito è davvero carino,però ti dico che quella nota è vera in un mondo perfetto
(anche se per fortuna qualche eccezione c'è ):
ho visto intere seconde andare in difficoltà davanti a decomposizioni del tipo $z^4+z^2+1=..=(z^2-z+1)(z^2+z+1)$,
ed a maggior ragione non sono ottimista se,come in questo caso,
a priori è opportuna ai nostri fini una classificazione in base alla parità di $n$..
Saluti dal web.

[Andrea571]

"Pianoth":Non so se è stato già proposto in questo sito, comunque per chi delle superiori non conosce questo problema penso che possa non troppo difficilmente risolverlo:

Dimostrare che $AA n in NN$, con $n>1$, $n^4+4^n$ non è un numero primo.

Nota: lo potrebbe risolvere anche un alunno di prima superiore!

Si può dire immediatamente che per $n$ pari la soluzione non sarà mai un numero primo, in quanto somma di due numeri pari;
Per $n$ dispari, mi vergogno ad ammetterlo, non so' andare avanti.

[Pianoth]

La tua osservazione è corretta. Ti do un piccolo aiuto: prova a scomporre $a^4+4b^4$. A che ti serve?

[qasw1]

Io sono di quinta superiore e forse non vale, ma ho provato a farlo lo stesso.

Se $n$ è pari, allora $n^4+4^n$ è somma di due numeri pari e quindi è pari. Perciò $n$ deve essere dispari.
Aggiungo e tolgo $2^(n+1)n^2$:
$n^4+2^(n+1)n^2+4^n-2^(n+1)n^2=$
$=(n^2)^2+2\cdot2^n n^2+(2^n)^2-2^(n+1)n^2=$
$=(n^2+2^n)^2-(2^((n+1)/2)n)^2=$
$=(n^2+2^n+2^((n+1)/2))(n^2+2^n-2^((n+1)/2))$
Dove, siccome $n$ è dispari, $(n+1)/2$ è intero.
Per $n>1$ i due fattori ottenuti nella scomposizione sono sempre maggiori di $1$.