Un problema di minimo
Dopo il massimo ...il minimo 
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Risposte
A occhio, il minimo dovrebbe essere preso nel punto \(P\) appartenente al lato \(AB\) tale che \(EP=EC\).
Io invece direi il punto $P$ tale che gli angoli $EPD$ e $CPA$ siano congruenti.
La mia risposta, ottenuta però con analitica ed analisi, è: detto $C'$ il simmetrico di $C$ rispetto ad $AB$, il minimo si ha quando $P$ è il baricentro di $C C'D$.
Ora bisogna chiedersi come dimostrarlo per via sintetica e ci penserò ancora. Preciso che ho trovato quella risposta evitando di considerare i dati numerici; è senz'altro possibile che con i dati forniti siano giuste anche le risposte di gugo82 e milizia96.
Ora bisogna chiedersi come dimostrarlo per via sintetica e ci penserò ancora. Preciso che ho trovato quella risposta evitando di considerare i dati numerici; è senz'altro possibile che con i dati forniti siano giuste anche le risposte di gugo82 e milizia96.
Ok per giammaria e milizia. La posizione giusta per ottenere il minimo richiesto è quella del punto P' ( in colore rosso). Da un punto di vista fisico-geometrico la soluzione corrisponde al minimo cammino che un raggio luminoso, uscente da una sorgente di luce posizionata in E, deve seguire perché raggiunga il punto C dopo la riflessione sullo "specchio" AB.
La dimostrazione sintetica la lascio al vostro ...divertimento !
P.S. Per uno scambio di etichette la figura porta come punto di minimo il punto $F$: leggerlo come punto $P'$, invece.
Si può arrivare alla mia risposta in due modi:
1) Notando che $AB$ deve essere la tangente ad un ellisse di fuochi $E$ e $C$ con $P$ punto di tangenza, quindi sfruttando la ben nota proprietà degli angoli formati dalla tangente e dai segmenti che congiungono i fuochi con il punto di tangenza.
2) Sia $E'$ il simmetrico di $E$ rispetto alla retta $AB$.
Facendo variare $P$, si ha per simmetria che $CP+PE=CP+PE'$.
Il percorso minimo tra $C$ e $E'$ è il segmento $CE'$, il quale interseca $AB$ in un punto che chiamiamo $Q$.
Si conclude che il minimo della quantità richiesta si ottiene quando $P$ coincide con $Q$.
Gli angoli $DPE'$ e $DPE$ sono congruenti per costruzione.
Gli angoli $DPE'$ e $CPA$ sono congruenti perché opposti al vertice.
Inoltre dal modo (2) si vede come il mio risultato coincide con quello di giammaria.
1) Notando che $AB$ deve essere la tangente ad un ellisse di fuochi $E$ e $C$ con $P$ punto di tangenza, quindi sfruttando la ben nota proprietà degli angoli formati dalla tangente e dai segmenti che congiungono i fuochi con il punto di tangenza.
2) Sia $E'$ il simmetrico di $E$ rispetto alla retta $AB$.
Facendo variare $P$, si ha per simmetria che $CP+PE=CP+PE'$.
Il percorso minimo tra $C$ e $E'$ è il segmento $CE'$, il quale interseca $AB$ in un punto che chiamiamo $Q$.
Si conclude che il minimo della quantità richiesta si ottiene quando $P$ coincide con $Q$.
Gli angoli $DPE'$ e $DPE$ sono congruenti per costruzione.
Gli angoli $DPE'$ e $CPA$ sono congruenti perché opposti al vertice.
Inoltre dal modo (2) si vede come il mio risultato coincide con quello di giammaria.
Prima ancora di leggere il suggerimento di ciromario, avevo fatto anch'io un ragionamento come il modo 2 di milizia96; consideravo $EC'$ invece di $E'C$ ma è lo stesso.
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