Un pò di Algebra 1: I gruppi

[dan952]

Sia $N={0,1,2,...,N-1}$ e $f: N \rightarrow N$ biiettiva, si può dimostrare che l'insieme delle funzioni biiettive $F={f| f:N \rightarrow N}$ rispetto all'operazione di composizione forma un gruppo...cos'è un gruppo?
Un gruppo è un insieme (in questo caso $F$ su cui è definita un operazione binaria, nel nostro caso $• : F×F \rightarrow F$, cioè ad ogni coppia $(f,g) \in F×F$ un unico elemento $h \in F$. L'insieme in questione dovrà soddisfare certi assiomi rispetto all'operazione per definirsi un gruppo, questi sono:
1) L'associatività ($f•(g•h)=(f•g)•h$)
2) Esistenza elemento neutro ($EE Id|f•Id=f \forall f\in F$)
3) Esistenza dell'inverso ($\forall f \in F, EE f^{-1} |f•f^{-1}=Id$)
Inoltre diremo che un elemento ha ordine $n$ se $n$ è il più piccolo naturale tale che $f^n=Id$.
Detto questo si dimostri che $(F,•)$ è un gruppo, e si trovino tutte le funzioni $f^2=Id$.

[kobeilprofeta]

credo che f bigettiva sia una permutazione.
esiste l'identità (banale)
l'inversa è ancora banale, basta bandare $f(n)$ in $n$ per ogni n
rimane l'associatività.

Cerco le f tc $f^2=Id$
Mi serve che $f(f(n))=n$; quindi le f sono quelle che scambiano a due a due gli elementi che non vanno in sè stessi.

[Pachisi]

Provo:

Siano $ f: N \rightarrow N $, $ g: N \rightarrow N $ e $ h: N \rightarrow N $ tre funzioni. Dobbiamo dimostrare che $(f \circ g) \circ h=f \circ (g \circ h)$. Ora, consideriamo un $n \in N$. Allora, $((f \circ g) \circ h)(n)=(f \circ g)(h(n))=f(g(h(n)))$. In modo simile, $(f \circ (g \circ h))(n)=f((g \circ h)(n))=f(g(h(n)))$. Dunque, $((f \circ g) \circ h)(n)=(f \circ (g \circ h))(n)$, per ogni $n \in N$. Segue che la composizione di funzione è associativa.

Per l'elemento neutro dobbiamo mostrare che esiste una funzione $r: N \rightarrow N$ tale che $ r \circ f = f$ e $f \circ r = f$. Sia $r(n)=n$. Allora, $r \circ f = (r \circ f)(n)=r(f(n))=f(n)$. In modo simile dimostriamo che $f \ circ r=f$. Allora, l'elemento neutro è la funzione $r(n)=n$.

Per l'inverso dobbiamo mostrare che esiste una funzione $s:N \rightarrow N$ tale che $s \circ f= r$ e $f \circ s=r$, dove $r$ è la funzione di prima. Ossia, $s(f(n))=r(n)=n$ e $f(s(n))=r(n)=n$. Essendo $f$ biiettiva esiste solo un $n \in N$ tale che $f(n)=x$ per ogni $x \in N$. Definiamo la funzione $s= {(x,n):(n,x) \in f}$, allora $s(x)=n$, ma $x=f(n)$, dunque $s(f(n))=n$. In modo simile si dimostra che $f(s(n))=n$. Allora $s$ è la funzione inversa di $f$.

Quindi, la composizione di funzioni biiettive rispetto alla composizione è un gruppo.

[dan952]

@kobe
L'ultima parte si, per la prima vedasi pachisi...

"Pachisi":In modo simile si dimostra che f(s(n))=n.

$f(s(x))=x$

Avete dimostrato che la composizione di due funzioni biiettive è biiettiva ovvero che $F$ è chiuso rispetto a questa operazione?

[Pachisi]

Per dimostrare che $F$ è chiuso sotto la composizione bisogna dimostrare (credo) che, prese due funzioni $f$ e $g$ in $F$, si ha $f \circ g$ e $g \circ f$ $\in F$.

[dan952]

Si esatto

[coleridge1]

"dan95":2) Esistenza elemento neutro ($EE Id|f•Id=f \forall f\in F$)

Se non erro deve valere anche $Id•f=f$.

[dan952]

Si l'elemento neutro commuta con ogni elemento dell'insieme, mi sono scordato di specificarlo