Un paio di esercizi

[banabinomio]

Salve vorrei chiedervi gentilmente una mano per risolvere questi esercizi
Domanda 6.
Per α > 0 si consideri la successione definita per induzione attraverso le formule
$ a0 = α , an+1 = 1 +(an)/2 $
.
Si dica quale delle seguenti affermazioni `e vera:
(a) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an = 2
(b) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an =1/2
(c) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an = +∞
(d) Esistono degli α > 0 per cui limn→+∞ an = +∞

Allora qui ho provato a trovare un espressione che mi desse il valore di an sapendo alfa e n:
$an=1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)+(a0)/2^n$
tuttavia ancora non so ben calcolare questo limite e non so nemmeno se l'espressione è giusta.

Poi dire quante sono le terne ordinate (x, y, z) con x, y, z ∈ Z tali che xyz = 36.
(a) 144
(b) 72
(c) 36
(d) 243

e qui all'inizio ho trovato il numero di divisori di 36 in N ossia 9 e poi non saprei come procedere considerato il segno dovuto all'appartenenza a Z nè come tripartire questi divisori. Grazie mille a chi vorrà darmi una mano

[axpgn]

Sappiamo che $36=2^2*3^2$

Quindi ogni divisore di $36$ avrà la forma [size=150]$2^a*3^b$[/size] con $0<=a<=2$ e $0<=b<=2$.

Di conseguenza stai cercando $36=(2^(a_1)*3^(b_1))(2^(a_2)*3^(b_2))(2^(a_3)*3^(b_3))$ con $a_1+a_2+a_3=2$ e $b_1+b_2+b_3=2$.

Ci sono sei terne che soddisfano la prima e altrettante la seconda quindi in totale $36$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

La prima come "espressione" è giusta e corrisponde ad una successione molto famosa più un termine che tende a zero ...

[ot]Consiglio: in generale, è meglio mettere un solo problema per ogni discussione[/ot]

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Per quanto riguarda il secondo esercizio, se ho ben interpretato la traccia, la risposta esatta secondo me è la $a$.
Appena ho un po' di tempo posto il mio ragionamento.

[axpgn]

Hai ragione, leggendo con più attenzione vedo che si parla di $ZZ$, comunque basta ...

... quadruplicare
Le "combinazioni base" sono $36$ ovvero come valore assoluto sono quelle però se i fattori variano negli interi va tenuto conto anche del segno, perciò o sono tutti e tre positivi (i fattori) o lo è uno solo, ne consegue che per ogni "combinazione base" ci sono quattro "versioni".

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Hai ragione, leggendo con più attenzione vedo che si parla di $ZZ$, comunque basta ...

... quadruplicare
Le "combinazioni base" sono $36$ ovvero come valore assoluto sono quelle però se i fattori variano negli interi va tenuto conto anche del segno, perciò o sono tutti e tre positivi (i fattori) o lo è uno solo, ne consegue che per ogni "combinazione base" ci sono quattro "versioni".

Cordialmente, Alex

Esatto, per ciascuna sequenza "base"
|x|,|y|,|z|
avremo 4 possibili terne ordinate:
x, y, z
-x, -y, z
-x, y, -z
x, -y, -z

Per quanto riguarda le sequenze base, ho provato a ricavarle utilizzando un approccio meno "elegante"!
Considerando i $9$ divisori di $36$, si ottiene facilmente che le combinazioni base possibili sono:

1, 2, 18
1, 3, 12
1, 4, 9
2, 3, 6
---------
1, 1, 36
1, 6, 6
2, 2, 9
3, 3, 4

Da cui si deduce che le sequenze base sono:

$4(P_3+P_(3;2))=36$

[banabinomio]

Beh che dire,grazie mille ad entrambi e in particolare ad Alex che divora tutti gli esercizi che a me non vengono

P.S. Non ho scritto un argomento diverso per ogni problema per non risultare pedante tuttavia se è addirittura consigliabile accetto volentieri il consiglio.

[axpgn]

[ot]Sì, è meglio perché due argomenti nella stessa discussione possono aumentare la confusione (p.es. risposte che si accavallano, si perde di vista chi risponde a chi, ecc.)
Chiaramente questo non avviene sempre, anzi, però è meglio prevenire così le discussioni rimangono più ordinate e pulite [/ot]

Cordialmente, Alex

[axpgn]

[ot]

"banabinomio":... che divora tutti gli esercizi che a me non vengono

Grazie ma è solo un caso ...[/ot]

[banabinomio]

"axpgn":[ot]Sì, è meglio perché due argomenti nella stessa discussione possono aumentare la confusione (p.es. risposte che si accavallano, si perde di vista chi risponde a chi, ecc.)
Chiaramente questo non avviene sempre, anzi, però è meglio prevenire così le discussioni rimangono più ordinate e pulite [/ot]
Certo ora capisco
[quote="axpgn"][ot][quote="banabinomio"]... che divora tutti gli esercizi che a me non vengono

Grazie ma è solo un caso ...[/ot][/quote]

Cordialmente, Alex[/quote]
Apprezzo la tua modestia ma rimango del parere che non sia un caso