Un massimo
Il quadrati ABCD ( di lato lungo a) ha il lato AB fisso sulla retta l ( vedi fig.). Un altro quadrato EFGH ( di lato pure uguale ad a) ha il vertice F sulla retta l ed il vertice E mobile sul lato AD. Dal vertice G si tracci la perpendicolare ad l fino ad intersecare la retta CH in M e la retta l medesima nel punto N.
Si determini il valore massimo del segmento MN al variare di E sul segmento AD.
Risposte
$ \phi - 1$
Trigonometria ed analisi sono lecite? Usandole, io avrei trovato $sin NhatGF=(-1+sqrt5)/2$, che corrisponde al fatto che $AE$ sia la sezione aurea di $AD$; questo mi fa pensare alla possibile esistenza di una risposta molto più rapida.
Prima di scervellarmi, chiedo all'autore se davvero esiste. E' anche possibile che i miei calcoli siano sbagliati e che la risposta non sia quella.
Prima di scervellarmi, chiedo all'autore se davvero esiste. E' anche possibile che i miei calcoli siano sbagliati e che la risposta non sia quella.
"giammaria":Giusto.
[...] avrei trovato $sin NhatGF=(-1+sqrt5)/2$ [...].
Lascia perdere se i rapporti sono aurei o no!
Sei a cavallo! Va' avanti e arrivi a concludere.
Ciao ciao
Nemmeno io ho avuto grandi idee purtroppo. Buttando tutto nel piano cartesiano ho ottenuto $MN=8/5a$. Ma l'ora è tarda e io sono fuori allenamento. Di certo assomiglia molto al risultato citato da Erasmus_First...
Mi sà però che ho toppato io, visto che i risultati postati accordano molto di più 
... avrò sbagliato qualche conto riguarderò...
... avrò sbagliato qualche conto riguarderò...
Mmm... provo a scrivere i miei conti così magari trovate l'errore.
Prendo un sistema di riferimento cartesiano con origine in A. L'asse y parallelo ad AD diretto verso l'alto, l'asse x anche lui parallelo ad AB ma diretto verso sinistra. Credo sia chiaro. Pongo $a=1$
1) L'equazione della curva descritta dal punto H, che chiamo $h(x)$ mi pare sia $h(x)=x+\sqrt(1-x^2)$. La derivata $h'(x)=1-x/sqrt(1-x^2)$
2) Punto C con coordinate (-1,1)
3) MN è massimo quando la retta tangente nel punto ad $h$ nel punto $(x_0,h(x_0))$, di equazione $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$, passa per $(-1,1)$. Imponendo questa condizione trovo $x_0=3/5$.
4) usando questo valore di $x_0$ sono arrivato ad $MN=8/5$.
Prendo un sistema di riferimento cartesiano con origine in A. L'asse y parallelo ad AD diretto verso l'alto, l'asse x anche lui parallelo ad AB ma diretto verso sinistra. Credo sia chiaro. Pongo $a=1$
1) L'equazione della curva descritta dal punto H, che chiamo $h(x)$ mi pare sia $h(x)=x+\sqrt(1-x^2)$. La derivata $h'(x)=1-x/sqrt(1-x^2)$
2) Punto C con coordinate (-1,1)
3) MN è massimo quando la retta tangente nel punto ad $h$ nel punto $(x_0,h(x_0))$, di equazione $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$, passa per $(-1,1)$. Imponendo questa condizione trovo $x_0=3/5$.
4) usando questo valore di $x_0$ sono arrivato ad $MN=8/5$.
"Thomas":Occhio: $8/5 = 1,6$ (secco!).
[...]sono arrivato ad $MN=8/5$.
Il volore è molto prossimo al vero massimo. Questo però non è razionale (ha addirittura un radicale doppio).
L'espressione che ho usato io [lascinando cos(x) e sin(x) al posto di inserire i loro valori] è giusta, anche se sembra diversa da quella scritta per benino da TeM:
"TeM":
si conclude \(\overline{MN}_{max} = \left(1 + \sqrt{2\left(5\sqrt{5} - 11\right)}\right)a\).
"Erasmus_First":Se metti $sin(x) = (sqrt(5) - 1)/2$ e quindi $cos(x) =sqrt((sqrt(5) - 1)/2)$ trovi appunto $MN_max = 1,6005662·a$.
$MN_max= 1 +((cos(x) + sin(x))^2 - 1)/(1 + sin(x)) ≈ 1,6005662$
E questo stesso valore trovi se calcoli l'espressioine di TeM (che ha semplicemente "razionalizzato" il denominatore scrivendo radici soltanto al numeratore).
Ciao ciao
[/quote]
trovare coerenza tra i vostri risultati non mostra l'errore nei miei conti... li ho postati appunto per cercare di trovarlo 
potrebbe essere un errore nel procedimento oppure algebrico....
potrebbe essere un errore nel procedimento oppure algebrico....
Thomas:
Penso che l'errore stia nell'impostazione. Tu trovi la semiretta con la maggior inclinazione che proietta da C il punto H sullo 'schermo' (retta vericale per G) e ritieni che questa fornisca la massima proiezione. Sarebbe vero se lo schermo fosse fisso, ma non è così: quando E sale ancora un po', rispetto condizione di massimo che hai trovato, l'inclinazione di CH diminuisce, però, contemporaneamente lo schermo si allontana e, la somma dei due effetti contrari è positiva; MN cresce ancora, fino al vero massimo trovato dagli altri.
La differenza è molto piccola proprio perché i due effetti sono di segno opposto: mentre AE cresce di quasi il 3%, MN aumenta solo di circa 3.5 parti su 10000.
Ciao
trovare coerenza tra i vostri risultati non mostra l'errore nei miei conti... li ho postati appunto per cercare di trovarlo
Penso che l'errore stia nell'impostazione. Tu trovi la semiretta con la maggior inclinazione che proietta da C il punto H sullo 'schermo' (retta vericale per G) e ritieni che questa fornisca la massima proiezione. Sarebbe vero se lo schermo fosse fisso, ma non è così: quando E sale ancora un po', rispetto condizione di massimo che hai trovato, l'inclinazione di CH diminuisce, però, contemporaneamente lo schermo si allontana e, la somma dei due effetti contrari è positiva; MN cresce ancora, fino al vero massimo trovato dagli altri.
La differenza è molto piccola proprio perché i due effetti sono di segno opposto: mentre AE cresce di quasi il 3%, MN aumenta solo di circa 3.5 parti su 10000.
Ciao
Giusto! Grazie mile orsoulx! 
@ Thomas
Stavo per risponderti ancora prima di pranzare ma ho dovuto sospendere ...
E così orsolux mi ha preceduto (rilevando l'errore concettuale che hai compiuto).
Stavo appunto citandoti qua:
Andrebbe bene se $NA$ restasse costante al girare della retta HC attorno a C. Invece $NA$ è sempre uguale alla quota di H (cioè varia pure al variare di $x_H$ ).
A partire dalla posizione che dici – cioè $x_H = 3/5 $ – , se giri il quadrato obliquo GFEH in senso anti-orario $H$ cala un po' di quota, ma $G$ si sposta a sinistra ... e così il segmento $MN = y_M$ cresce ancora un pelino prima di incominciare a calare pure lui.
La figura postata da ciromario può trarre in inganno perché mostra F più a destra di H, ossia G più basso di E.
Come hai trovato anche tu, al massimo della pendenza di HC (cioè in prossimità del cercato massimo), viene:
$NA = y_H = 7/5$;
$x_H = NF = AE = y_E = 3/5$;
e quindi
$y_G = GN = FA = NA - NF = 4/5 > y_E$. [Riassumendo; $y_G > y_E$]-
Cioè: a pendenza massima della retta HC, [in prossimità del massimo cercato, proprio dove tu pensavi che fosse il massimo] G è più alto di E
Perciò, girando il quadrato GFEH in senso antiorario di un angolino, la pendenza di HC cala poco (perché parti dal suo massimo) e G si sposta a sinistra (più in fretta della rapidità con cui cala la pendenza); e così MN fa in tempo a crescere ancora un po'.
Appunto da 1,6 a 1,6005662...
––––––––
Se al posto di andare in coordinate cartesiane metti $x_h = sin(alfa)$, trovi appunto $y_H=sin(alfa) + cos(alfa)$.
Allora la pendenza della retta $HC$ ti viene
$(y_H - 1)/(1 + x_H) = [sin(alfa) + cos(alfa) - 1]/(1 + sin(alfa)$
Con una proporzione trovi $y_M - 1 = (y_H - 1)·[(x_M+1)/(x_H + 1)]$.
Poi, derivando rispetto ad $alfa$, trovi il massimo di $y_M$ al variare di $alfa$ (invece del tuo $x$).
Ciao ciao
Stavo per risponderti ancora prima di pranzare ma ho dovuto sospendere ...
E così orsolux mi ha preceduto (rilevando l'errore concettuale che hai compiuto).
Stavo appunto citandoti qua:
"Thomas":La condizione che imponi è quella per cui è massima la pendenza della retta $HC = MC$.
[...] 3) MN è massimo quando la retta tangente nel punto ad $h$ nel punto $(x_0,h(x_0))$, di equazione $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$, passa per $(-1,1)$. Imponendo questa condizione trovo $x_0=3/5$.
Andrebbe bene se $NA$ restasse costante al girare della retta HC attorno a C. Invece $NA$ è sempre uguale alla quota di H (cioè varia pure al variare di $x_H$ ).
A partire dalla posizione che dici – cioè $x_H = 3/5 $ – , se giri il quadrato obliquo GFEH in senso anti-orario $H$ cala un po' di quota, ma $G$ si sposta a sinistra ... e così il segmento $MN = y_M$ cresce ancora un pelino prima di incominciare a calare pure lui.
La figura postata da ciromario può trarre in inganno perché mostra F più a destra di H, ossia G più basso di E.
Come hai trovato anche tu, al massimo della pendenza di HC (cioè in prossimità del cercato massimo), viene:
$NA = y_H = 7/5$;
$x_H = NF = AE = y_E = 3/5$;
e quindi
$y_G = GN = FA = NA - NF = 4/5 > y_E$. [Riassumendo; $y_G > y_E$]-
Cioè: a pendenza massima della retta HC, [in prossimità del massimo cercato, proprio dove tu pensavi che fosse il massimo] G è più alto di E
Perciò, girando il quadrato GFEH in senso antiorario di un angolino, la pendenza di HC cala poco (perché parti dal suo massimo) e G si sposta a sinistra (più in fretta della rapidità con cui cala la pendenza); e così MN fa in tempo a crescere ancora un po'.
Appunto da 1,6 a 1,6005662...
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Se al posto di andare in coordinate cartesiane metti $x_h = sin(alfa)$, trovi appunto $y_H=sin(alfa) + cos(alfa)$.
Allora la pendenza della retta $HC$ ti viene
$(y_H - 1)/(1 + x_H) = [sin(alfa) + cos(alfa) - 1]/(1 + sin(alfa)$
Con una proporzione trovi $y_M - 1 = (y_H - 1)·[(x_M+1)/(x_H + 1)]$.
Poi, derivando rispetto ad $alfa$, trovi il massimo di $y_M$ al variare di $alfa$ (invece del tuo $x$).
Ciao ciao
stile un po' pedante e poco garbato, però ringrazio per la risposta
"Thomas":
stile [...]poco garbato[...]
–––––––
Don't worry ho capito che non lo fai apposta ... tieni solo conto che non sempre su internet comunichi con una classe di studenti ... puoi seguire o meno questa osservazione ti ho solo detto la mia impressione 
... tieni solo conto che non sempre su internet comunichi con una classe di studenti ... puoi seguire o meno questa osservazione ti ho solo detto la mia impressione
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