Un luogo geometrico

[giammaria2]

Del triangolo $ABC$ si conoscono $BC=a, AC=b$; sia $S$ il piede della bisettrice dell'angolo $BhatCA$. Determinare il luogo dei punti $S$ quando, fissi $B$ e $C$, $A$ varia sulla circonferenza di centro $C$ e raggio $b$.
Il problema va risolto con la geometria classica; nell'attesa è però ammessa anche una soluzione con analitica e/o trigonometria, purché corredata da indicazioni sul come disegnare questo luogo senza calcoli sui valori numerici di $a,b$.

Per favore, gli espertissimi si astengano o almeno aspettino qualche giorno.

[xXStephXx]

Direi che è la circonferenza di diametro $CB$

[giammaria2]

@ xXStephXx. Secondo i miei calcoli, la tua soluzione è giusta solo se $a=b$. Prova a fare un disegno in cui sia vistosamente $a>b$ e te ne convincerai; inoltre se tu avessi ragione il disegno sarebbe ovvio e quindi non avrei scritto "purché corredata da indicazioni sul come disegnare questo luogo senza calcoli sui valori numerici di a,b".
Quello che indichi è il luogo del piede dell'altezza, ma il testo parlava di bisettrice. Chiarisco meglio: chiamo "piede della bisettrice" la sua intersezione col lato opposto.

[xXStephXx]

Si hai ragione xD Stavo vedendo il piede dell'altezza A questo punto è pure più interessante.

E' sempre una circonferenza

se rimane fino a stasera metto tutti i dettagli

[xXStephXx]

Allora, cosa posso dare per buono di preciso?

Sappiamo che $b/a = {AS}/{SB}$. Mandando il prolungamento di $CB$ fino ad incontrare la circonferenza in $E$, abbiamo che il triangolo $CES$ è congruente a $CAS$ (due lati uguali ed angolo compreso uguale). Quindi ${BS}/{ES} = {BS}/{SA}={a}/{b}$. Ora il piccolo cheat: essendo il rapporto costante si sa che il luogo geometrico individuato da $S$ è una circonferenza di Apollonio...
Sicuramente passa per $C$. Quindi per disegnarla basterebbe prendere il piede della bisettrice in altri due punti a caso e poi la si può tracciare

[Sk_Anonymous]

[geogebra][/geogebra]
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[giammaria2]

"xXStephXx":abbiamo che il triangolo $CES$ è congruente a $CAS$ (due lati uguali ed angolo compreso uguale).

Non capisco di che lati ed angoli parli. Io ha disegnato $BhatCA$ acuto ed $a>b$; i due triangoli di cui parli mi diventano uno ottusangolo e l'altro acutangolo e quindi certo non congruenti. O forse ho inteso male la posizione di $E$? Da quello che dici io dedurrei $BE=BC+CE=a+b$.
Se invece ho inteso bene insisti: anche se hai sbagliato sei vicino alla soluzione.
Forse può aiutarti il mio ragionamento: inizialmente ho cercato la soluzione con analitica e trigonometria e dall'equazione trovata ho dedotto alcune informazioni sulla circonferenza (in questo hai ragione, il luogo è una circonferenza); ho poi cercato di rispettare il mio "purché corredata da indicazioni sul come disegnare questo luogo" con un ragionamento simile a quello della tua ultima riga ma abbreviato dalle informazioni che già avevo. Ho anche notato che nella formula figurava un $a+b$ che mi ha indotto a prendere in considerazione quel punto $E$.
Con la guida dei precedenti ragionamenti non mi è stato particolarmente difficile trovare la soluzione con la geometria classica e senza scomodare il cerchio di Apollonio: bastano i triangoli simili.

Mentre scrivevo questo messaggio ciromario ha inserito la sua soluzione (avevo chiesto di aspettare qualche giorno!), lievemente diversa dalla mia; ti basta però non guardarla e trovarne una tua. Oppure puoi indicare come disegnare la soluzione analitica, cosa che non è ancora stata fatta.

[xXStephXx]

"giammaria":[quote="xXStephXx"]abbiamo che il triangolo $CES$ è congruente a $CAS$ (due lati uguali ed angolo compreso uguale).

Non capisco di che lati ed angoli parli. Io ha disegnato $BhatCA$ acuto ed $a>b$[/quote]
Io l'ho disegnata con $b>a$. L'acutezza dell'angolo è indifferente, visto che può essere sia acuto, sia ottuso al variare di $B$.

"giammaria":
anche se hai sbagliato sei vicino alla soluzione.

Con $b>a$ è giusta, sono abbastanza sicuro . In realtà funziona pure con $a>b$ identica a com'è scritta, l'unica differenza è che $E$ va preso come punto di intersezione tra $CB$ e la circonferenza di centro $C$ e raggio $A$. Mentre prima lo prendevo sul prolungamento.

"giammaria":
Con la guida dei precedenti ragionamenti non mi è stato particolarmente difficile trovare la soluzione con la geometria classica e senza scomodare il cerchio di Apollonio: bastano i triangoli simili.

Senza scomodare il cerchio di Apollonio, si può dimostrare Apollonio senza chiarmarlo per nome

"giammaria":
Oppure puoi indicare come disegnare la soluzione analitica, cosa che non è ancora stata fatta.

Naaa... odio la geometria analitica e tutta la geometria contosa in generale (non capisco perchè al liceo si dava così tanta importanza ad una cosa che stimolava allo spirito della meccanicità brutale... ma vabbè... non vorrei dare spunti per scivolare in OT )



Ora Apollonio (dimostrato con le stesse lettere del caso in questione):

Abbiamo il triangolo $ESB$. Prendiamo il punto $K$ sul segmento $EB$ tale che $K$ divida il segmento $EB$ secondo il rapporto costante in questione. Ora prendiamo il punto $H$ sul prolungamento del segmento $EB$ in modo che ${HE}/{HB}$ sia uguale allo stesso rapporto di prima. Ora vale che $SK$ è la bisettrice di $BSE$ in quanto ${SE}/{SB} = {EK}/{KB}$ per costruzione.
Ora traccio la bisettrice esterna dell'angolo $BSE$ che è perpendicolare a quella interna $SK$ e passa per $H$. Quindi $HSK$ forma un angolo retto e il luogo geometrico di $S$ è la circonferenza di diametro $KH$

[giammaria2]

Sì, ora siamo d'accordo. Bravissimo!
Quanto alla meccanicità brutale, sono d'accordo nel dire che è sempre meglio evitarla, ma quando non si vedono altre strade (e capita spesso) ben venga anche lei. Se ci pensi, è meccanicità brutale anche impostare un'equazione per risolvere un problema tipo "Trovare un numero tale che i due terzi della sua somma col numero successivo..." che probabilmente si potrebbe risolvere anche senza equazioni ma con notevoli contorcimenti mentali.