Un giochino ...geometrico

[Sk_Anonymous]

Nel trapezio ABCD ( AB=base maggiore, CD=base minore) i lati hanno, rispetto ad un'assegnata unità, le misure indicate in figura. SENZA CALCOLARE L'ALTEZZA DEL TRAPEZIO, determinare l'area della superficie di ABCD.

[marcosocio]

Io farei così, ma magari c'è una via più breve:

Intanto prolunghiamo i lati obliqui fino ad ottenere un triangolo di vertice $V$, come in figura:
I triangoli $ABV$ e $CDV$ sono simili perchè hanno l'angolo $\hatV$ in comune e i lati $\bar{AV}$ e $\bar{DV}$, $\bar{BV}$ e $\bar{CV}$ proporzionali tra loro per il Teorema di Talete.
Impostando le dovute proporzioni tra lati corrispondenti che ometto per brevità (e applicando la proprietà dello scomporre), si trova che $\bar{DV}=18/5$ e $\bar{CV}=24/5$.
A questo punto si può calcolare l'area di $CDV$ con la formula di Erone $A=sqrt(p(p-\bar{CD})(p-\bar{CV})(p-\bar{DV}))=216/25$, dove $p$ è il semiperimetro del triangolo.
Ora applicando la proporzione $\bar{AB}^2:\bar{CD}^2=A(ABV):A(CDV)$ e applicando sempre la proprietà dello scomporre $(\bar{AB}^2-\bar{CD}^2):\bar{CD}^2=A(ABCD):A(CDV)$, si trova l'area cercata $A(ABCD)=102/5$

[Sk_Anonymous]

Molto bene marcosocio, La tua soluzione rispetta rigorosamente la consegna e non credo ci siano soluzioni più brevi.

[marcosocio]

Ottimo

[anonymous_c5d2a1]

Propongo questa formula da me stesso trovata:

$A=(a+c)/2sqrt(d^2-([(a-c)^2-b^2+d^2]^2)/(4(a-c)^2))$ dove $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$.

[Sk_Anonymous]

Interessante formula. Credo che si possa dimostrare utilizzando i passi fatti da marcosocio ma con dati generici.

[@melia]

Avevo pensato una via più breve, ma non ho risposto perché, per la mia professione, sono fuori concorso: mi sono accorta che il triangolo AVB è rettangolo in V. Con questo sistema le aree si calcolano più rapidamente. Portando da B la parallela al lato AD che interseca in E la base maggiore ottengo il triangolo BCE che ha i lati lunghi 3, 4, 5 e quindi è rettangolo ...

[marcosocio]

Carina questa!