Un Esercizio su una successione di punti

[mklplo751]

Salve,in questo topic,vorrei proporvi questo esercizio:
"Siano $d_1,....,d_n$ numeri reali positivi,con $n>=2$.Si trovi una condizione necessaria e sufficiente,perché esiste una successione $p_0,....,p_n$ di punti del piano euclideo tali che:
1)per ogni $i=1,...,n$,la distanza tra $p_i$ e $p_(i-1)$ è $d_i$ e
2)$p_n=p_0$"
Io penso di aver trovato una soluzione anche se non sono poi così sicuro.

Semplicemente,definisco con \( \overrightarrow{p_{i-1}p_i} \) un vettore che parte da $p_{i-1}$ e arriva $p_i$;poi pongo \( \sum_{i=1}^{n} \frac{\overrightarrow{p_{i-1}p_i}}{d_i}=0 \),il che soddisfa la seconda richiesta e dato che $d_i$ è sempre maggiore di $0$(non avendo mai il caso che due punti consecutivi coincidano),penso che basti a soddisfare la prima richiesta;anche se ammetto che l'esercizio,non penso di averlo capito proprio bene.

[veciorik]

Se ho ben capito si tratta di imporre una condizione alle lunghezze dei lati di una spezzata chiusa.

Basta che ogni lato sia minore o uguale alla somma di tutti gli altri lati ?

Correggo:

Basta che ogni lato sia minore della somma di tutti gli altri lati.
Se un lato fosse maggiore della somma degli altri, la spezzata resta aperta.
Se un lato fosse uguale alla somma degli altri, i punti sarebbero tutti allineati: a me non piace chiamare "spezzata" la figura risultante. Non so cosa dica la teoria, ma a me non piace.
Prendi ad esempio tre punti, ossia un triangolo; ogni lato è sicuramente minore della somma degli altri due.
Se parti da quattro punti $p_0, p_1, p_2, p_3$ e trascini $p_3$ su $p_0$ ti ritrovi con tre punti, la spezzata si chiude e forma un triangolo.

[mklplo751]

come già detto,la risposta esatta non la so,ma potresti spiegarmi,in che modo la condizione che hai messo tu implica anche la seconda richiesta?

[veciorik]

Ho corretto sopra.
Ti soddisfa ?
Cosa intendi per seconda richiesta ?

[mklplo751]

per secondo richiesta intendo,che la condizione sulle distanze implichi che $p_0=p_n$,ma ovviamente potrei( molto probabilmente)aver interpretato male la domanda.

[giammaria2]

Non so la soluzione, ma le risposte date finora non mi convincono.

E' senz'altro vero, come detto da mklplo, che la somma dei vettori deve essere zero, ma direi che questo è solo il modo di formalizzare la tesi. Inoltre non viene sfruttata l'ipotesi che i vettori abbiano tutti la stessa lunghezza, e di solito non si danno ipotesi inutili.
La risposta di veciorik dà una condizione necessaria ma non sufficiente perché non garantisce che l'ultimo vettore faccia tornare al punto di partenza; al massimo si può dire che ogni vettore deve essere uguale (e contrario) alla somma degli altri, ma questo è solo un altro modo di scrivere la soluzione di mklplo.

Butto là una mia idea, che però non ho veramente esaminato.

La condizione richiesta è che la somma algebrica delle inclinazioni dei vettori sia un multiplo dell'angolo piatto (o forse che sia zero?).
Le inclinazioni possono essere riferite forse ad una qualsiasi retta fissa, o forse al lato precedente; occorre poi una regola per decidere il segno.

[.Ruben.17]

La soluzione é che ogni lato sia minore della somma di tutti gli altri
Per dimostrare che la condizione é sufficiente: https://mathoverflow.net/questions/9661 ... m-segments
Oppure
https://arxiv.org/abs/1506.08069
Non riesco a trovare una soluzione che non usi geometria iperbolica o roba complicata(eppure deve esserci)

[Vincent46]

Mi sfugge qualcosa nel mio ragionamento?

Supponendo che i $d_i$ siano dati in ordine crescente, condizione necessaria e sufficiente è che $d_n \leq d_1 + ... + d_{n-1}$ (che equivale alla condizione che ogni lato che sia minore o uguale della somma degli altri). Che sia necessaria è abbastanza ovvio. Per la sufficienza, prendiamo tre segmenti $s_1, s_2, s_3$ di lunghezze rispettivamente $d_n, d_{n-1}, d_{1} + ... + d_{n-2}$. Questi formano un triangolo per ipotesi.
Questa costruzione si può generalizzare facilmente nel caso in cui non mi andassero bene terne di punti allineati.

[dan952]

Se ci fate caso è una generalizzazione della condizione per l'esistenza di un triangolo cioè $d_1+\cdots+d_n>2\text{max}(d_1,\cdots,d_n)$

[giammaria2]

Rileggendo l'enunciato, mi rendo conto che l'avevo frainteso; mi scuso.

[dan952]

Quella che segue non è proprio una dimostrazione formale ma è più un ragionamento intuitivo che se formalizzato opportunamente potrebbe portare a dimostrare un' implicazione, cioè se vale quella disuguaglianza allora esiste un poligono avente lati $d_1,\cdots, d_n$. Consideriamo un segmento di lunghezza $d_1+\cdots+d_n$ lo dividiamo appunto in $n$ segmenti di lunghezza $d_1, \cdots, d_n$ prendiamo il segmento più grande che sarà la base del nostro poligono e "pieghiamo" gli altri segmenti in modo da far coincidere gli estremi liberi.

[anto_zoolander]

supponiamo di avere $n$ distanze $d_1,...,d_n$
Costruiamo induttivamente una successione che verifichi quanto chiesto.

• prendiamo a caso il punto $p_0$ e consideriamo la circonferenza di centro $p_0$ e raggio $d_1$ e prendiamo $p_1 inS(p_0,d_1)$

• in generale costruiamo i primi $n-2$ termini e della successione $(p_k)_(k inNN)$ in modo tale che:

${(p_0=P),(p_k inS(p_(k-1),d_k)forall kinI_(n-2)):}$

• fissiamo $p_n=p_0$ e non ci resta che costruire l’ultimo punto.
Colleghiamo i punti $p_n$ e $p_(n-2)$ con il vettore $v=p_n-p_(n-2)$ allora otteniamo chiaramente un poligono chiuso di vertici $p_0,p_1,...,p_(n-2),p_n$. Possiamo avere tre casi

- $d_(n-1)+d_n<||v||$ allora allora non possiamo chiudere la poligonale
(Se per assurdo si potesse si dovrebbe avere proprio la disuguaglianza opposta)

- $d_(n-1)+d_n=||v||$ allora basta prendere $p_(n-1)$ nel segmento di estremi $p_(n-2),p_n$ in modo tale che si abbia l’uguaglianza di prima(dovrebbe ridursi ad una equazione di secondo grado in una sola variabile tra l’altro)

- $d_(n-1)+d_n>||v||$ allora formano i lati di triangolo e pertanto il punto esiste anche(abbiamo due vertici e tre lati del triangolo, sicuramente esiste).

Quindi secondo me una condizione necessaria e sufficiente è:

$P,Q inRR^2: d_(n-1)+d_ngeq||Q-P||$

Dove nel costruire la successione $P,Q$ sono $p_0,p_(n-2)$.
Non ne sono sicuro al 100% ma dovrebbe funzionare

[.Ruben.17]

Traccia:
Siano $d_1,....,d_n$ numeri reali positivi, con $n \geq 2$.
Si trovi una condizione necessaria e sufficiente, affinchè esista una successione $p_0,....,p_n$ di punti del piano euclideo tali che:
Per ogni $i=1,...,n$, la distanza tra $p_i$ e $p_{i-1}$ è di $d_i$;
$p_n=p_0$.
Svolgimento:

Tesi:
La condizione necessaria e sufficiente richiesta è che $max(d_i) < \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$ (T).
1) Dimostro innanzitutto che (T) è condizione necessaria.
1.0) Per fare ciò, interpreto la successione di punti come la successione dei vertici di un poligono chiuso e la successione di reali come la successione delle lunghezze dei suddetti lati. Detto questo, la necessarietà di (T) è equivalente all'affermare che ogni poligono chiuso con lati di lunghezza $d_1, d_2, ..., d_n$ soddisfa $max(d_i) < \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$.
1.1) Prendo il generico poligono nel piano euclideo e suppongo, senza perdita di generalità, che $p_1 p_n$ sia il suo lato di lunghezza massima. Dimostro quindi, per induzione, che: $dist(p_1, p_k) < \sum_{i=1}^{k-1} dist(p_i, p_{i+1})$ per $k=3, ..., n$.
Per comodità indico con $|p_i p_j|$ la distanza tra $p_i$ e $p_j$.
Base induttiva: $|p_1 p_3| < |p_1 p_2| + |p_2 p_3|$ per la disuguaglianza triangolare
Ipotesi induttiva: Suppongo che la tesi valga per un $k$ fissato
Passo induttivo: Dimostro che dall'ipotesi induttiva si può dedurre la verità della tesi per k+1.
Dalla disuguaglianza triangolare: $|p_1 p_{k+1}| < |p_1 p_k| + |p_k p_{k+1}|$.
Dall'ipotesi induttiva: $|p_1 p_k| < \sum_{i=1}^{k-1} |p_i p_{i+1}|$.
Dunque: $|p_1 p_{k+1}| < \sum_{i=1}^{k} |p_i p_{i+1}|$ e la tesi è dimostrata per induzione.
Ponendo $k=n$ ottengo: $|p_1 p_n| < \sum_{i=1}^{n-1} |p_i p_{i+1}|$, ossia: $d_n < \sum_{i=1}^{n-1} d_i \Rightarrow 2 d_n<\sum_{i=1}^{n} d_i \Rightarrow max(d_i)< \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$.
Ho quindi dimostrato che la (T) è condizione necessaria.
2) Dimostro che la (T) è condizione sufficiente
2.0) Devo dimostrare quindi che, data (T) vera per una successione $d_i$, è possibile costruire un poligono chiuso che ha i $d_i$ per lati.Dimostrerò di più, ossia che esiste un poligono convesso e ciclico con i $d_i$ come lunghezze dei lati.
Vi possono essere geometricamente due casi, in funzione dei $d_i$:
(a) Il poligono può essere contenuto in una semicirconferenza
(b) Il poligono non può essere contenuto in una semicirconferenza
Geometricamente (basta osservare un disegno per rendersene conto) questo implica che:
nel caso (a) la somma degli angoli al centro sottesi ai lati deve realizzare l'angolo giro
nel caso (b) l'angolo al centro sotteso al lato massimo deve eguagliare la somma degli angoli al centro sottesi a tutti gli altri lati
2.1) Quindi devo dimostrare che, dati $d_1, ..., d_n$, tali che $max(d_i) < \sum_{i=1}^{n} d_i$, può essere costruito un poligono come in (a) oppure come in (b) che ha i $d_i$ come lunghezze dei lati.
Matematicamente, l'angolo al centro sotteso al generico lato di lunghezza $d_i$ vale $2 arcsin(\frac{di}{2R})$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
Quindi devo dimostrare, con le suddette ipotesi, che:
$\exists R: 2 \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) = 2 \pi \quad\vee$
$\exists R: 2 \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) - 2 arcsin(\frac{max(d_i)}{2R})=2arcsin(\frac{max(d_i)}{2R})$.
Suppongo innanzitutto, per semplificare le notazioni e senza perdita di generalità, che $max(d_i)=d_n$.
Controllo se mi trovo nel caso (a): in tal caso dovrebbe essere:
$\frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) = 1$. Sia $C=\frac{1}{R}$ e $f(C)= \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{C d_i}{2})$.
Noto innanzitutto che $f(C)$ è continua e crescente. Noto inoltre che, poiché il poligono cercato avrà un lato di lunghezza $d_n$, esso deve essere minore del diametro: quindi $d_n < 2R \Rightarrow R> \frac{d_n}{2} \Rightarrow C < \frac{2}{d_n}$. Dunque il valore massimo di $f(c)$ si avrà per $C = \frac{2}{d_n}$. Quindi, se $f(\frac{2}{d_n}) \geq 1$, per il teorema degli zeri $\exists C_1: f(C_1)=1$ e posso dire di trovarmi nel caso (a).
Al contrario, se $f(\frac{2}{d_n}) < 1$, non esiste $C_1: f(C_1)=1$ perchè $f$ è continua e crescente: si entra quindi nel caso (b).
Devo quindi dimostrare che, se $f(\frac{2}{d_n}) < 1$, $\exists R: \sum_{i=1}^{n-1} arcsin(\frac{d_i}{2R})=arcsin(\frac{d_n}{2R})$.
Sia $g(C)=\frac{1}{\pi} [-arcsin(\frac{C d_n}{2}) + \sum_{i=1}^{n-1} arcsin(\frac{C d_i}{2})]$.
Noto che $g(C) = f(C) - \frac{2}{\pi} arcsin(\frac{C d_n}{2})$ e che $g(0)=0$.
Calcolo $g'(C)=\frac{1}{\pi} [-\frac{d_n}{2} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{C d_n}{2})^2}} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_i}{2} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{C d_i}{2})^2}}]$.
Dunque $g'(0)= \frac{1}{\pi} [-\frac{d_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_i}{2}]$, che è maggiore di 0 se è vera (T), e inoltre $g(\frac{2}{d_n}) = f(\frac{2}{d_n}) - \frac{2}{pi} arcsin(\frac{d_n}{2} \frac{2}{d_n}) = f(\frac{2}{d_n}) - 1 < 0$.
Quindi, la funzione $g$ vale 0 in 0, ed è localmente crescente in 0, assumendo perciò in un intorno destro di 0 valori positivi; al contrario in $\frac{2}{d_n}$ la funzione assume un valore negativo. Allora, per il teorema degli zeri, $\exists C_0: g(C_0)=0$, da cui la tesi.
Q.E.D.

[.Ruben.17]

Quindi secondo me una condizione necessaria e sufficiente è:

$P,Q inRR^2: d_(n-1)+d_ngeq||Q-P||$

Dove nel costruire la successione $P,Q$ sono $p_0,p_(n-2)$.
Non ne sono sicuro al 100% ma dovrebbe funzionare

La condizione(a detta della traccia) deve coinvolgere solamente la successione delle distanza

[orsoulx]

Questa volta mi trovo a pensare diversamente da veciorik: il testo del quesito non parla di poligoni, richiede solo di trovare una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di $ n $ punti soddisfacenti la richiesta.
Ruben ha condotto una bellissima dimostrazione provando addirittura l'esistenza di un poligono avente area massima.
Si può, però, fornire la dimostrazione dell'esistenza, per $ n>2 $ di un triangolo (eventualmente degenere) su lati del quale giacciono tutti i punti cercati; punti che si possono facilmente costruire con riga e compasso.
La condizione è sempre la stessa $ d_j=max(d_i)<= 1/2 sum_{i=1}^n d_i$. Pensiamo i $ d_i $ disposti sequenzialmente in circolo e, individuato il (/uno dei) $ d_j $, costruiamo due somme $ a $ ed $o $, ponendo inizialmente $ a=d_{j-1}; o=d_{j+1} $ ed incrementando successivamente $ a $ se $ a<=o $ oppure $ o $ se $ a>o $ aggiungendo il $ d_i $ che troviamo adiacente, rispettivamente con verso antiorario/orario all'ultimo presente nella somma da incrementare, fino ad esaurire tutte le distante. Il procedimento seguito garantisce che in ciascun passo $ | a-o|<=d_j $ e pertanto alla fine è certa l'esistenza del triangolo di lati $ d_j, a, o $, che si può costruire con riga e compasso, riportando poi sui lati i punti corrispondenti agli addendi delle somme.

Ciao

[anto_zoolander]

@ruben

si diciamo che ho imposto una condizione su due punti della successione, però peccato mi piaceva

[Mat0071]

Potrei dire una cavolata... ma prendiamo una parabola centrata nell'origine. La prima condizione è che siano numeri >2 , il fatto che p0=pn ci spiega che il primo e l'ultimo numero sono uguali (parabola, triangolo, ecc.). Spostiamo a destra di n, per garantire numeri positivi sempre e abbiamo la figura.

[.Ruben.17]

"Mat007":Potrei dire una cavolata... ma prendiamo una parabola centrata nell'origine. La prima condizione è che siano numeri >2 , il fatto che p0=pn ci spiega che il primo e l'ultimo numero sono uguali (parabola, triangolo, ecc.). Spostiamo a destra di n, per garantire numeri positivi sempre e abbiamo la figura.

Spiegati meglio e nnanzitutto dicci secondo te la soluzione qual é.