Un esercizietto

[massimoaa]

Nel triangolo acutangolo ABC, rispetto ad un'assegnata unità di misura, si ha:
$\bar{BC}=14 ,\bar{AB}*\bar{AC}=195, \bar{AH}=12$
dove $AH$ è l'altezza relativa al lato BC
Calcolare la misura di ciascuno dei lati incogniti.
P.S.
Il problema è fattibile in vari modi. Come al solito si tratta di individuare il metodo non troppo dispendioso
in termini di calcoli...ma tanto domani è Domenica

[axpgn]

Meno dispendioso hai detto? Eccolo!

$\bar{AB}*\bar{AC}=195=3*5*13$, uno è $13$ e l'altro è $15$

Cordialmente, Alex

[spugna2]

$BC*AH=AB*AC*sin(BAC)$ (entrambe le espressioni danno il doppio dell'area), e sostituendo si trova

$sin(BAC)=56/65 \Rightarrow cos(BAC)=33/65$

Ora usiamo la formula per il coseno: $cos(BAC)=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2*AB*AC)$, da cui $AB^2+AC^2=394$, e infine

$(AB+-AC)^2=AB^2+AC^2+-2*AB*AC=394+-390$

$AB+AC=28,$ $AB-AC=2 Rightarrow AB=15,$ $AC=13$

[teorema55]

"axpgn":Meno dispendioso hai detto? Eccolo!

Mitico!

[massimoaa]

@spugna
Ottima soluzione. Complimenti!

[axpgn]

Fammi capire ... in cosa sarebbe meno dispendioso?

[Erasmus_First]

"massimoaa":Nel triangolo acutangolo ABC, rispetto ad un'assegnata unità di misura, si ha:
$\bar{BC}=14 ,\bar{AB}*\bar{AC}=195, \bar{AH}=12$
dove $AH$ è l'altezza relativa al lato BC
Calcolare la misura di ciascuno dei lati incogniti.

Dire che il triangolo è acutangolo è superfluo!
[Anzi: inutile, dato che in qualsiasi modo si calcolino i lati incogniti questa informazione non viene usata].
Che è il triangolo ... quasi equilatero di lati lunghi 13, 14 e 15 quello con l'altezza relativa al lato lungo 14 di lunghezza 12 ... lo sanno tutti i ragazzini che hanno fato la 1ª superiore, dato che tale triangolo è per [quasi] tutti gli insegnanti il consueto esempio di appoggio nell'insegnare la frormula di Erone per l'area di un triangolo di lati noti.

Facciamo questo giochino almeno con numeri meno consueti! Per esempio:
«Nel triangolo acutangolo ABC, rispetto ad un'assegnata unità di misura, si ha:
$\bar{BC}=28 ,\bar{AB}*\bar{AC}=425, \bar{AH}=15$
dove $AH$ è l'altezza relativa al lato BC
Calcolare la misura di ciascuno dei lati incogniti.»
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Generalizziamo!
Nel triangolo ABC sia H il piede della perpendicolare per A a BC
Si ponga a = BC, b = CA, c = AB, h = AH e p = b·c.
Calcolare b e c conoscendo a, h e p.
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[axpgn]

Uno $17$ e l'altro $25$

Cordialmente, Alex

@Erasmus
[ot]P.S.: Non rispondi più al quesito dei quattro punti nello spazio? [/ot]

[Erasmus_First]

"massimoaa":Nel triangolo acutangolo ABC, rispetto ad un'assegnata unità di misura, si ha:
$\bar{BC}=14 ,\bar{AB}*\bar{AC}=195, \bar{AH}=12$
dove $\bar{AH}$ è l'altezza relativa al lato $\bar[BC]$.
Calcolare la misura di ciascuno dei lati incogniti.

Pongo $\bar[BH] =\bar[BC]$/2 $+ x = 7+x$ e $\bar[HC] =\bar[BC]$/2 $- x = 7-x$.
Allora $\bar[AB] ≡ c = sqrt((7+x)^2 + 12^2)$ e $\bar[AC] ≡ b = sqrt((7-x)^2 + 12^2)$.
E quindi l'equazione biquadratica in $x$:
$sqrt(49+144 + x^2 + 14x)·sqrt(49+144 + x^2 - 14x)$ = b·c = 195 ⇒
⇒ $x^4 + 193^2 +2·193x^2 – 196x^2 = 195^2$ ⇔ $x^4 + 190x^2 -776 = 0$ ⇒ $x^2 = 4$ ⇒ $x = 2$ ⇒
⇒ $\bar{BH] = 7 + x = 9$ ∧ $\bar[HC]= 7–2=5$ ⇒
⇒ $c = sqrt(9^2+12^2) = sqrt225 = 15$ ∧ $b=sqrt(5^2+12^4) = sqrt169 = 13$.

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