Tutti a tavola
Ancora da Cesenatico (1989):
In una tavola circolare ci sono 60 posti occupati da 30 uomini e dalle 30 rispettive mogli. Mostrare che esistono almeno due signore che siedono alla stessa distanza dai rispettivi mariti.
Risposte
Mi sembra un po' banale messo così... ma magari mi sbaglio o non comprendo bene il testo.
Se si prende una circonferenza e la si divide in sessanta punti (immaginiamo, la circonferenza ha infiniti punti) rappresentanti le persone distanti la stessa distanza, diciamo che gli uomini stanno seduti su metà circonferenza e le donne sull'altra metà. Immaginiamo il punto $A$ del diametro della circonferenza a destra, con sopra seduto il marito e di sotto la rispettiva moglie, come primi posti. Stessa cosa nell'altro punto che il diametro determina con la circonferenza, immaginando che ci siano i rispettivi marito e moglie. Se abbiamo diviso la circonferenza in parti uguali due donne siedono alla stessa distanza di due uomini.
Immagino che nel testo, però, sia sottinteso che i mariti si siedano vicino alle mogli...
Se si prende una circonferenza e la si divide in sessanta punti (immaginiamo, la circonferenza ha infiniti punti) rappresentanti le persone distanti la stessa distanza, diciamo che gli uomini stanno seduti su metà circonferenza e le donne sull'altra metà. Immaginiamo il punto $A$ del diametro della circonferenza a destra, con sopra seduto il marito e di sotto la rispettiva moglie, come primi posti. Stessa cosa nell'altro punto che il diametro determina con la circonferenza, immaginando che ci siano i rispettivi marito e moglie. Se abbiamo diviso la circonferenza in parti uguali due donne siedono alla stessa distanza di due uomini.
Immagino che nel testo, però, sia sottinteso che i mariti si siedano vicino alle mogli...
"Luca":
Immagino che nel testo, però, sia sottinteso che i mariti si siedano vicino alle mogli...
No, sarebbe troppo facile: in quel caso ogni moglie sarebbe a "distanza 1" dal rispettivo marito.
Si chiede di dimostrare che comunque si sistemino i commensali (senza dare conto a parentele o altro), è sempre possibile individuare due signore che siedono alla stessa distanza dai rispettivi mariti.
EDIT: ah un'altra cosa: le distanze considerale in senso di sedie, non in senso "geometrico" come corde di circonferenza.
Quindi se marito e moglie sono vicini possiamo dire che si trovano a distanza 1, se in mezzo tra loro c'è esattamente un'altra persona sono a distanza 2, e così via...
(ciò è uguale a considerare la distanza "geometrica" come stavi facendo, assumendo che due posti vicini siano sempre alla stessa distanza tra loro - sempre in senso geometrico)
Se per assurdo accadesse, poichè le distanza possibili sono 30, esattamente come il numero di coppie, avremmo che tutte le distanza possibili sono realizzate una ed una sola volta. Ora immaginiamo che ogni membro della coppia che è a distanza $j$ dal coniuge indossi un cartellino con su indicato il numero $j$ e supponiamo inoltre che i posti siano numerati da 1 a 60.
Se si possiede un cartellino con su indicato un numero dispari, e si è seduti su un posto pari, allora il coniuge siederà su un posto dispari, e viceversa. Dunque se consideriamo i 30 posti pari (2,4,6,...,60) di questi 15 saranno occupati da persone (maschio o femmina, solo uno per coppia) con un cartellino dispari. Rimangono 15 posti liberi, che devono per forza essere occupati da persone con il cartellino pari, ma questo è impossibile, perchè se si ha il cartellino pari e si occupa un posto pari, allora anche il proprio coniuge occuperà un posto pari. Dunque i posti pari occupati da persone con il cartellino pari devono essere pari (
) mentre invece sono dispari (abbiamo detto 15). Dunque si giunge ad un assurdo.
Se si possiede un cartellino con su indicato un numero dispari, e si è seduti su un posto pari, allora il coniuge siederà su un posto dispari, e viceversa. Dunque se consideriamo i 30 posti pari (2,4,6,...,60) di questi 15 saranno occupati da persone (maschio o femmina, solo uno per coppia) con un cartellino dispari. Rimangono 15 posti liberi, che devono per forza essere occupati da persone con il cartellino pari, ma questo è impossibile, perchè se si ha il cartellino pari e si occupa un posto pari, allora anche il proprio coniuge occuperà un posto pari. Dunque i posti pari occupati da persone con il cartellino pari devono essere pari (
) mentre invece sono dispari (abbiamo detto 15). Dunque si giunge ad un assurdo.
@The Kangaroo
Perfetto TheKangaroo 
Io l'avevo fatto praticamente uguale, ma invece di usare cartelli ho colorato alternativamente i posti di bianco e di nero.
Intanto come hai fatto tu noto che ogni distanza (che può andare da 1 a 30) deve essere usata esattamente una volta.
15 coppie devono occupare ognuna un posto nero e uno bianco, quindi rimangono "liberi" 15 posti bianchi e 15 posti neri, che però non possono essere occupati dalle 15 coppie i cui membri devono occupare entrambi lo stesso colore => assurdo.
Io l'avevo fatto praticamente uguale, ma invece di usare cartelli ho colorato alternativamente i posti di bianco e di nero.
Intanto come hai fatto tu noto che ogni distanza (che può andare da 1 a 30) deve essere usata esattamente una volta.
15 coppie devono occupare ognuna un posto nero e uno bianco, quindi rimangono "liberi" 15 posti bianchi e 15 posti neri, che però non possono essere occupati dalle 15 coppie i cui membri devono occupare entrambi lo stesso colore => assurdo.
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