Trovare le equazioni di due Funzioni con due moduli
Buongiorno a tutti mi sono imbattuto in questo problema nella sezione "prove per l'esame" sul capitolo esponenziali e logaritmi.
Date due funzioni, di equazione del tipo $y = |3^(|x+k|) + a|$, che passano per i punti O(0, 0) e A(–2 , 8)
Determina i valori di k e a relative alle due funzioni.
io ho ragionato nel seguente modo ,visto che mi danno due punti faccio un sistema cosi :
$0=|3^(|k|)+a|$
$8=|3^(|-2+k|)+a|$
praticamente ho sostituito le x e le y dei punti dati. Però mi sono bloccato qua perchè non riesco a capire da dove iniziare, ho affrontato più volte equazioni con un module dentro l'altro ma qua ci sono due incognite... non saprei come fare.
Date due funzioni, di equazione del tipo $y = |3^(|x+k|) + a|$, che passano per i punti O(0, 0) e A(–2 , 8)
Determina i valori di k e a relative alle due funzioni.
io ho ragionato nel seguente modo ,visto che mi danno due punti faccio un sistema cosi :
$0=|3^(|k|)+a|$
$8=|3^(|-2+k|)+a|$
praticamente ho sostituito le x e le y dei punti dati. Però mi sono bloccato qua perchè non riesco a capire da dove iniziare, ho affrontato più volte equazioni con un module dentro l'altro ma qua ci sono due incognite... non saprei come fare.
Risposte
Se non sai cosa fare, parti dalle cose semplici 
Ovvero, in questo caso, inizia a sciogliere il valore assoluto.
Prendi la prima equazione, spezza il valore assoluto nei due casi, il primo dei quali è il sistema tra $3^(|k|)+a>=0$ e $3^(|k|)+a=0$, dal quale si ricava $3^(|k|)= -a$ e cioè $a<0$ e $|k|=(ln(-a))/ln(3)$
Prova a continuare tu ...
Cordialmente, Alex
Ovvero, in questo caso, inizia a sciogliere il valore assoluto.
Prendi la prima equazione, spezza il valore assoluto nei due casi, il primo dei quali è il sistema tra $3^(|k|)+a>=0$ e $3^(|k|)+a=0$, dal quale si ricava $3^(|k|)= -a$ e cioè $a<0$ e $|k|=(ln(-a))/ln(3)$
Prova a continuare tu ...
Cordialmente, Alex
A me sembra più semplice iniziare eliminando l'incognita $a$. Dalla prima equazione ricavi
$3^(|k|)+a=0->a=-3^(|k|)$
La seconda equazione diventa quindi
$|3^(|k-2|)-3^(|k|)|=8$
e per risolverla comincerei ad eliminare i valori assoluti degli esponenti, distinguendo i seguenti tre casi:
${(k<=0),(|3^(-k+2)-3^(-k)|=8):}" "{(0=2),(|3^(k-2)-3^k|=8):}$
Il primo ed il terzo caso sono i più semplici perché il valor assoluto residuo si elimina subito pensando al fatto che abbiamo un esponenziale crescente e mettendo poi in evidenza. Il secondo caso è un po' più complicato; fra i possibili metodi di soluzione io sceglierei di scrivere l'equazione nella forma
$9/3^k-3^k=+-8$
Le soluzioni finali sono $k=0$ e $k=2$ e ne deduci $a$.
$3^(|k|)+a=0->a=-3^(|k|)$
La seconda equazione diventa quindi
$|3^(|k-2|)-3^(|k|)|=8$
e per risolverla comincerei ad eliminare i valori assoluti degli esponenti, distinguendo i seguenti tre casi:
${(k<=0),(|3^(-k+2)-3^(-k)|=8):}" "{(0
Il primo ed il terzo caso sono i più semplici perché il valor assoluto residuo si elimina subito pensando al fatto che abbiamo un esponenziale crescente e mettendo poi in evidenza. Il secondo caso è un po' più complicato; fra i possibili metodi di soluzione io sceglierei di scrivere l'equazione nella forma
$9/3^k-3^k=+-8$
Le soluzioni finali sono $k=0$ e $k=2$ e ne deduci $a$.
Sinceramente, mi pare che il mio procedimento sia semplice, io non ho fatto altro che mostrare la risoluzione della prima equazione che tu hai dato per scontato, poi si prosegue, chiaramente, ma l'ho lasciato a lui ...
Dalla prima equazione, sciogliendo il valore assoluto, si ottengono i due sistemi
${(3^(|k|)+a>=0),(3^(|k|)+a=0):}$ e ${(3^(|k|)+a<0),(-3^(|k|)-a=0):}$.
È immediato notare che il primo sistema si riduce a $3^(|k|)+a=0$ (la seconda equazione è un di cui della prima) mentre il secondo non ha soluzioni (un'equazione esclude l'altra).
Premesso che è altrettanto immediato notare che deve essere $a<0$ (dato che $3^(|k|)$ è sempre positivo), si arriva alla soluzione in un paio di passaggi $3^(|k|)=-a\ ->\ |k|*ln(3)=ln(-a)\ ->\ k=+-ln(-a)/ln(3)$
Quindi si passa alla seconda equazione, sostituendo $a$ con $-3^(|k|)$.
Cordialmente, Alex
Dalla prima equazione, sciogliendo il valore assoluto, si ottengono i due sistemi
${(3^(|k|)+a>=0),(3^(|k|)+a=0):}$ e ${(3^(|k|)+a<0),(-3^(|k|)-a=0):}$.
È immediato notare che il primo sistema si riduce a $3^(|k|)+a=0$ (la seconda equazione è un di cui della prima) mentre il secondo non ha soluzioni (un'equazione esclude l'altra).
Premesso che è altrettanto immediato notare che deve essere $a<0$ (dato che $3^(|k|)$ è sempre positivo), si arriva alla soluzione in un paio di passaggi $3^(|k|)=-a\ ->\ |k|*ln(3)=ln(-a)\ ->\ k=+-ln(-a)/ln(3)$
Quindi si passa alla seconda equazione, sostituendo $a$ con $-3^(|k|)$.
Cordialmente, Alex
Ragazzi un grazie di cuore a tutti e due , siete sempre i migliori.
@axpgn
All'inizio, io non ho diviso in due casi ma ho pensato che un valore assoluto vale zero se e solo se il suo argomento è zero: le formule $|f(x)|=0$ e $f(x)=0$ dicono la stessa cosa.
Mi sembra poi una perdita di tempo trovare la scomodissima $k=+-ln(-a)/ln(3)$, ed anche tu scrivi "Quindi si passa alla seconda equazione, sostituendo $a$ con $−3^|k|$". La difficoltà sta nella soluzione della seconda equazione: da dove cominciare? Dal valore assoluto degli esponenti (come ho fatto) o dall'altro valore assoluto o magari da entrambi? Inoltre il fatto che le soluzioni coincidano con i punti di separazione fra i miei tre casi fa supporre l'esistenza di un metodo migliore, che però non ho individuato.
All'inizio, io non ho diviso in due casi ma ho pensato che un valore assoluto vale zero se e solo se il suo argomento è zero: le formule $|f(x)|=0$ e $f(x)=0$ dicono la stessa cosa.
Mi sembra poi una perdita di tempo trovare la scomodissima $k=+-ln(-a)/ln(3)$, ed anche tu scrivi "Quindi si passa alla seconda equazione, sostituendo $a$ con $−3^|k|$". La difficoltà sta nella soluzione della seconda equazione: da dove cominciare? Dal valore assoluto degli esponenti (come ho fatto) o dall'altro valore assoluto o magari da entrambi? Inoltre il fatto che le soluzioni coincidano con i punti di separazione fra i miei tre casi fa supporre l'esistenza di un metodo migliore, che però non ho individuato.
Il mio intento, di fronte all'OP che scrive "non saprei cosa fare", è di "partire dalle basi, dalle cose semplici" che non significa necessariamente la via più breve o più facile.
Tu, invece, hai supposto che fosse ovvio per l'OP che $ |f(x)|=0 $ e $ f(x)=0 $ fossero la stessa cosa; può darsi che fosse così ma ho preferito scegliere il caso peggiore.
Ho quindi riscritto il procedimento che avevo usato per mostrargli che effettivamente era semplice (il valore di $k$ l'ho calcolato solo per completezza, non per necessità).
Cordialmente, Alex
Tu, invece, hai supposto che fosse ovvio per l'OP che $ |f(x)|=0 $ e $ f(x)=0 $ fossero la stessa cosa; può darsi che fosse così ma ho preferito scegliere il caso peggiore
.Ho quindi riscritto il procedimento che avevo usato per mostrargli che effettivamente era semplice (il valore di $k$ l'ho calcolato solo per completezza, non per necessità).
Cordialmente, Alex
Effettivamente dipende dall'insegnamento ricevuto: io ho dato per scontato che all'OP, come a me, fosse stato insegnato che le equazioni del tipo $|f(x)|=k$ si risolvono così:
- se $k<0$ l'equazione è impossibile
- se $k=0$ l'equazione equivale a $f(x)=0$
- se $k>0$ l'equazione equivale a $f(x)=+-k$
Volendo, gli ultimi due casi possono essere riuniti in $k>=0$, che è forse più intuitivo.
- se $k<0$ l'equazione è impossibile
- se $k=0$ l'equazione equivale a $f(x)=0$
- se $k>0$ l'equazione equivale a $f(x)=+-k$
Volendo, gli ultimi due casi possono essere riuniti in $k>=0$, che è forse più intuitivo.
Semi OT:
Non mi è mai piaciuto quel modo di "vedere" il valore assoluto (né l'ho mai usato anche quando sarebbe stato meglio farlo); il valore assoluto è una funzione a tratti e quindi io vado per casi e non sbaglio mai
Cordialmente, Alex
Non mi è mai piaciuto quel modo di "vedere" il valore assoluto (né l'ho mai usato anche quando sarebbe stato meglio farlo); il valore assoluto è una funzione a tratti e quindi io vado per casi e non sbaglio mai
Cordialmente, Alex
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