Trovare i lati.... :D

[Sk_Anonymous]

Nel triangolo ABC l'altezza AH, la mediana AM e la bisettrice AT dell'angolo BAC, relative al lato BC, hanno le misure seguenti:
$\bar{AH}={24}/5,\bar{AM}=5,\bar{AT}={24}/7\sqrt2$
Determinare le misure dei lati del triangolo.
N.B. Naturalmente ci si aspetta una risposta ragionata e non limitata all'indicazione del solo risultato...

[Erasmus_First]

"ciromario":Nel triangolo ABC l'altezza AH, la mediana AM e la bisettrice AT dell'angolo BAC, relative al lato BC, hanno le misure seguenti:
$\bar{AH}={24}/5,\bar{AM}=5,\bar{AT}={24}/7\sqrt2$
Determinare le misure dei lati del triangolo.

Non è difficile concettualmente. E le lunghezze dei lati risultano ... belle rotonde!
Ma occorre procedere con paziente diligenza perché c'è una buona dose di calcoletti da fare.

Pongo:
• $a= \bar[BC]$, $b=\bar[CA]$ e $c=\bar[AB]$ le lunghezze (incognite) dei lati;
• $h = \bar[AH]$ l'altezza relativa a $BC$; $m = \bar[AM]$ la lunghezza della mediana per $A$; $d =\bar[AT]$ la lunghezza della bisettrice dell'angolo $BÂC$.

Si osservi che è $m > d > h$.
Se fosse $b = c$ sarebbe $m = d = h$. Essendo invece $m > d > h$, dovrà essere $b ≠ c$. Non è allora restrittivo supporre $b > c$.

NB. Detta $S(ABC)$ l'area del triangolo $ABC$ di lati $a$, $b$ e $c$, nel seguito si farà uso della "formula di Erone" nella forma:
$S(ABC) = sqrt([(b+c)^2 - a^2]·[a^2 - (b-c)^2])/4$.

Se si conoscessero $a$, $b$ e $c$, si potrebbero calcolare in loro funzione] le lunghezze $h$, $m$ e $d$.
Uguagliando allora le espressioni di $h^2$, $m^2$ e $d^2$ [in funzione di $a$, $b$ e $c$] ai quadrati [rispettivamente] delle note lunghezze $h$, $m$ e $d$ si ottengono tre equazioni nelle incognite $a$, $b$ e $c$ che, con un po' di pazienza, portano alla soluzione del problema.

Precisamente:
1) $h^2 = ([(b+c)^2 - a^2]·[a^2 – (b–c)^2])/(4a^2) = (24/5)^2 =24^2/25$, [che deriva da $ah =2·S(ABC)$];
2) $m^2 = (2(b^2 + c^2) - a^2)/4 = 5^2 = 25^2/25$, [da $BM = MC = a/2$ onde $S(ABM) = S(AMC)$];
3) $d^2 = (bc[(b+c)^2 - a^2])/(b+c)^2 = (2·24^2)/49$, [da $S(ABC) = S(ABT)+S(ATC)$ ricordando $sin(α/2)=sqrt((1-cos(α))/2$) e (con Carnot) $cos(α) =(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$ ].

Sottraendo membro a membro la 1) alla 2) si ha:
$m^2 - h^2 = ((b^2 - c^2)/(2a))^2 = (7/5)^2$ e perciò:
4) $(b^2 - c^2)/(2a) = 7/5$.

Sottraendo membro a membro la 1) alla 3) si ha:
$d^2 - h^2 = ((b^2 - c^2)/(2a))^2·[1 - (a/(b+c))^2]^2 = (24/(5·7))^2$, da cui, tenendo condo della 4):
5) $(b+c)/a = 7/5$.

Dalle 4) e 5) si ricava subito:
6) $b + c = (7/5)a$;
7) $b - c = 2$.
Tenendo conto di ciò, dalla 1) si ricava:
$(((49/25)a^2 - a^2)·(a^2 – 4))/(4a^2) = 6(a^2 - 4)/25 = 24^2/25$ ––> $a^2= 24·4+4 = 100$ ––>
8) $a = 10$.
Con ciò, dalle 6) e 7) si ha subito
9) $b = (7/10)a + 1 = (7/10)·10 + 1 = 8$;
10) $c = (7/10)a – 1 = (7/10)·10 - 1 = 6$.

La risposta è dunque:
$a= BC = 10$; $b = CA = 8$; $c = AB = 6$.

Tanta fatica per arrivare ad un triangolo così semplice ... da far invidia a Pitagora e Platone!
––––––

[Erasmus_First]

––> Trovare_i_lati. png

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[alfredo4]

Dai triangoli rettangoli AHT ed AHM ricavo che :
$\bar{HT}={24}/{35};\bar{HM}=7/5;\bar{TM)=5/7$
Come si vede, risulta valida la proporzione $HT:TM=AH:AM$ e ciò dimostra che AT è bisettrice dell'angolo $H\hat{A}M$ (oltre che dell'angolo $B\hat{A}C$). Segue che:
$B\hat{A}H={\pi}/2-\beta=M\hat{A}C$
Pertanto risulta:
$B\hat{A}M=B\hat{A}C-M\hat{A}C=\alpha-(\pi/2-\beta)=\pi/2-\gamma$
Per il teorema dei seni applicato ai triangoli ABM e AMC:
$5/{sin\beta}={\bar{AM}}/\cos\gamma; 5/{\sin\gamma}={\bar{MC}}/{\cos\beta}$
Tenuto conto che $\bar{AM}=\bar{MC}$, dalle due precedenti relazioni si ottiene che :
$\sin2\beta=\sin2\gamma$
A questo punto sono possibili due soluzioni :
A) $\beta =\gamma $ che porta ad un triangolo isoscele su BC, cosa che contrasta con i dati
B) $2\beta+2\gamma=\pi->\beta+\gamma={\pi}/2$ che porta ad un triangolo rettangolo in A.
Accettando la seconda soluzione segue che :
$BC=2\cdot AM =10$
$ \bar{BH}=\bar{BM}-\bar{HM}=5-7/5={18}/5$
$\bar{AB}=\sqrt{\bar{BC}\cdot\bar{BH}}=\sqrt{10\cdot {18}/5}=6$
$\bar{AC}=\sqrt{\bar{BC}^2-\bar{AB}^2}=8$

[Erasmus_First]

"alfredo4":Dai triangoli rettangoli AHT ed AHM ricavo che :
$\bar{HT}={24}/{35};\bar{HM}=7/5;\bar{TM)=5/7$
Come si vede, risulta valida la proporzione $HT:TM=AH:AM$ e ciò dimostra che AT è bisettrice dell'angolo $H\hat{A}M$ (oltre che dell'angolo $B\hat{A}C$).

Bello! Mi piace!

@ alfredo4
La tua osservazione porta a scoprire che $ABC$ è rettangolo in $A$ prima di trovare le lunghezze dei suoi lati.
Allora il triangolo $ABC$ è inscritto in una semicirconferenza di diametro $\bar{BC}$ e raggio $\bar[AM]$ che si sa valere 5.
Il resto ... diventa quasi ovvio.
Invece io ho trovato i lati indipendentemente dalla conoscenza degli angoli.
Voglio dire: col mio metodo si arriva al risultato con qualsiasi angolo in $A$. E anche se fosse ottuso l'angolo in $B$ oppure l'angolo in $C$ (cioè se $H$ fosse esterno al segmento $\bar[BC]$.

Ripropongo lo stesso problema ma con dati diversi. Precisamente;
« Nel triangolo $ABC$ sia:
Altezza $\bar[AH] = 168/13$; mediana $\bar[AM] = (sqrt673)/2$; bisettrice $\bar[AT]= (168·sqrt5)/29$.
Trovare le lunghezze dei lati del triangolo».
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[Erasmus_First]

"ciromario":Nel triangolo ABC l'altezza AH, la mediana AM e la bisettrice AT dell'angolo BAC, relative al lato BC, hanno le misure seguenti:
$\bar{AH}={24}/5,\bar{AM}=5,\bar{AT}={24}/7\sqrt2$
Determinare le misure dei lati del triangolo.

Col senno di poi ... proviamo a scrivere i dati così:
1) $\bar[AH] = (2·24)/10$;
2) $\bar[AM] = 10/2$;
3) $\bar[AT] ·1/sqrt2 = (2·24)/14$.
Dalla 1), ricordando che l'altezza è il doppio dell'area diviso per la base, viene il "sospetto" che l'area sia 24 e la base 10.
Se così fosse, dalla 2), essendo la mediana $\bar[AM]$ metà della base $\bar[BC]$, il triangolo sarebbe inscritto in un cerchio di raggio $\bar[AM]$ e diametro $\bar[BC]$, e quindi sarebbe rettangolo in $A$.
Se così fosse, gli angoli BÂT e TÂC sarebbero mezzo angolo retto il cui seno vale $1/sqrt2$.
La bisettrice $\bar[AT]$ di lunghezza d, divide il triangolo in due triangoli di aree rispettive
$S_1 = (d·b·sin(α/2))/2$; $S_2 = (d·c·sin(α/2))/2$
e perciò si ha:
$d·sin(α/2) = (2·(S_1+S_2))/(b+c)$.
La 3) allora, interpretando $1/sqrt2$ come $sin(α/2)$, non solo conferma i "sospetti" (area 24, angolo  retto, e quindi $b^2 + c^2 = a^2 = 100$ e $bc = 48$), ma suggerisce anche $b+c = 14$, ossia lunghezze dei cateti 6 e 8 ... il che trasforma i sospetti in certezza,
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[alfredo4]

Con i dati di Erasmus risulta:
$bar{AH}={2\cdot Area[ABC]}/{\bar{BC}}$
Cioè :
${168}/{13}={2\cdot Area[ABC]}/{\bar{BC}}$ da cui: $Area[ABC]=k\cdot 84, \bar{BC}=k\cdot 13$
Siccome Erasmus è uno preparato ( e di buon ...cuore ) avrà scelto $k=1$
Vediamo se ho indovinato il profilo psicologico di Erasmus .
Intanto é:
$\bar{BC}=13$
Ne segue che :
$\bar{HM}=\sqrt{\bar{AM}^2-\bar{AH}^2}=sqrt{{673}/{2^2}-{168^2}/{13^2}}={29}/{26}$
$\bar{BH}=\bar{BM}-\bar{HM}={13}/2-{29}/{26}={70}/{13}$
$\bar{HC}=\bar{HM}+\bar{MC}={29}/{26}+{13}/2={99}/{13}$
$\bar{AB}=\sqrt{\bar{AH}^2+\bar{BH}^2}=\sqrt{[{168}/{13}]^2+[{70}/{13}]^2}=14$
$\bar{AC}=\sqrt{\bar{AH}^2+\bar{HC}^2}=\sqrt{[{168}/{13}]^2+[{99}/{13}]^2}=15$
In conclusione si ha :
$\bar{AB}=14,\bar{BC}=13,\bar{AC}=15$
Con questi valori, applicando la formula della bisettrice:
$\bar{AT}=2/{b+c}\sqrt{pbc(p-a)}$
[ dove: a=misura del lato opposto al vertice A; b,c= misure dei lati che escono dal vertice A; p=semiperimetro di ABC]
si trova il valore della bisettrice indicato nella consegna. Mi è andata bene!

[Erasmus_First]

"alfredo4":Con i dati di Erasmus risulta:
$bar{AH}={2\cdot Area[ABC]}/{\bar{BC}}$
Cioè :
${168}/{13}={2\cdot Area[ABC]}/{\bar{BC}}$ da cui: $Area[ABC]=k\cdot 84, \bar{BC}=k\cdot 13$
Siccome Erasmus è uno preparato ( e di buon ...cuore ) avrà scelto $k=1$

Ooh, grazie alfredo. Ma come è buono Lei!
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L'ultimo mio post, quello dei "sospetti", l'ho messo apposta per far vedere come si potrebbe procedere, proprio col pensare
$\bar[AH] = ()/() = (2·S(ABC))/\bar[BC]$
e quindi come hai fatto tu,:
$2·S(ABC) = k$; $\bar[BC]=k$.
Ma ... ciromario forse non è d'accordo!
Il metodo ... "pedissequo" ma sicuro in ogni caso resta quello del mio primo post.
Però: sono rimasto impressionato dalla tua osservazione (di quella proporzione che mostrra come la bisettrice di BÂC sia anche bisettrice di HÂT).
A me non sarebbe mai venuta in mente.
Ciao ciao
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P.S.
Era meglio se ti dicevo:
$ = \bar[AH]=12$; $= \bar[AM] = 2sqrt37$; $= \bar[AT]=3/2 sqrt65$

[alfredo4]

Certo che siete furbissimi su questo Forum. Un po' lo dovete anche a me che vi agevolo il compito, dato che
"la classe non è acqua!!"

[Erasmus_First]

"alfredo4":Certo che siete furbissimi su questo Forum. Un po' lo dovete anche a me che vi agevolo il compito, dato che
"la classe non è acqua!!"

???
Dipende ... da quante volte è che la ripeti [la stessa classe]
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Tornando agli ultimi dati:
Era lo stesso triangolo di lati 13, 14 e 15, visto sulla base 14.
Questa volta ... era k = 14.
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