Trova la formula...

[gugo82]

Questa figura:

[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
noaxes();
fill="red"; stroke="red"; strokewidth=1;
rect([0,0],[1,1]); rect([1,1],[1.5,1.5]); rect([1.5,1.5],[1.75,1.75]); rect([1.75, 1.75],[1.875,1.875]); rect([1.875, 1.875],[1.9375, 1.9375]); rect([1.9375, 1.9375],[1.96875, 1.96875]); rect([1.96875, 1.96875],[1.984375,1.984375]); rect([1.984375, 1.984375],[1.9921875,1.9921875]);
fill="none"; stroke="black"; strokewidth=1;
rect([0,0],[2,2]);
line([0,1],[2,1]); line([1,0], [1,2]);
line([1,1.5],[2,1.5]); line([1.5,1], [1.5,2]);
line([1.5,1.75],[2,1.75]); line([1.75,1.5],[1.75,2]);
line([1.75,1.875],[2,1.875]); line([1.875,1.75],[1.875,2]);
line([1.875,1.9375],[2,1.9375]); line([1.9375,1.875],[1.9375,2]);
line([1.9375,1.96875],[2,1.96875]); line([1.96875,1.9375],[1.96875,2]);
line([1.96875,1.984375],[2,1.984375]); line([1.984375,1.96875],[1.984375,2]);
strokewidth=0.5;
line([1.984375,1.9921875],[2,1.9921875]); line([1.9921875, 1.984375],[1.9921875,2]);[/asvg]
è una delle tante possibili dimostrazioni di una nota formula matematica: quale?

[gugo82]

Avresti perso...

E comunque, a dispetto del titolo, non sto chiedendo di tirare ad indovinare; bensì di rispondere in maniera circostanziata, cioé giustificando la risposta.

[Sk_Anonymous]

Domanda: la successione di quadrati rossi si considera proseguire ad libitum, oppure l'ultimo che vedo in alto a destra è proprio l'ultimo della suddivisione?

[Rigel1]

Eddai, delirium, un po' di fantasia

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Eddai, delirium, un po' di fantasia

Eh ma non vorrei incappare in qualche trucco

Di stomaco direi \[\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n=1\]e cose simili

[gio73]

Hi Matt

I can't see the picture

[Gi81]

@gio73:

[gugo82]

@ Delirium: Ad libitum...
E comunque la risposta tentata non è quella esatta.

@ gio73: Hai installato Adobe SVG Viewer?

[superpippone]

$1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+1/4^5+1/4^6.......$

[theras]

Si,certo
(ed in fondo Delirium se l'era cavata con un "o simili",quando ha capito che lo stomaco l'aveva portato per istinto sulla strada giusta ma poi doveva mettere dell'altro );
ma a mio avviso,se ho capito la forma mentis di G. per il pò che m'è dato di poter fare,
si tratta di "riordinare" quell'ideale figura ricorsiva in modo da ottenerne una ad essa equivalente e di area $1/3$:
solo che,e quì mi rivolgo proprio a lui,mi pare ci sia la controindicazione didattica che,ammesso di riuscirci,
ciò possa dare al lettore di buon intuito la fallace sensazione che le serie numeriche possano essere riordinate a proprio piacimento .
Saluti dal web.

[gugo82]

@ superpippone: Esatto... Ma perché partire da \(\frac{1}{4}\)?

@ theras: Stavolta non si tratta di riordinare, ma proprio di constatare che sussiste la proporzione che citi tra aree di diverse figure "infinite".

[superpippone]

Parto da $1/4$ perchè il primo quadrato rosso è un quarto del quadrato più grande.

Altrimenti da dove sarei dovuto partire?

[Zero87]

Rispondo più per far fare una risata al creatore del thread che per altro (personalmente quoto la risposta di superpippone).

Appena ho visto l'immagine di gugo82, mi è venuto in mente subito il lemma di ricoprimento di Vitali perché quando ho seguito il corso di Analisi III era così che immaginavo la sua dimostrazione!

... poi però ho visto che la sezione era delle scuole superiori, quindi ero certo fosse sbagliata la risposta a meno che non siamo tutti geni (io comunque mi dissocio da tale genialità ).

[Sk_Anonymous]

Vero, la figura non dimostra quanto ho scritto: ne fornisce tutt'al più una "prova" intuitiva.
E l'argomento che pensavo di utilizzare per suffragare la mia affermazione è la tesi stessa.

[Caenorhabditis]

Guardandola mi ispira $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^i}=\frac{1}{n-1}$ (nel caso particolare di $n=4$).

[gugo82]

Formula dedotta dalla figura:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}\; ,
\]
cioé:
\[
\lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}\; .
\]
Dim. (dedotta dalla figura):

Supponiamo che il lato del quadrato sia lungo \(l=2\).
La figura disegnata è costruita iterativamente al seguente modo.

Al passo \(0\), il quadrato è diviso in \(4\) parti equiestese usando gli assi del quadrato.
[asvg]xmin=0; xmax=2;ymin=0; ymax=2;
noaxes();
fill="yellow"; stroke=0.5;
rect([1,1],[2,2]);
fill="red";
rect([0,0],[1,1]);
fill="none"; stroke="black";
rect([0,0],[2,2]);
line([1,0],[1,2]); line([0,1],[2,1]);[/asvg]
Chiamiamo \(B_0\) l'area della parte in alto a destra (in giallo), \(A_0\) l'area della parte in basso a sinistra (in rosso) e \(C_0\) l'area dell'unione di \(A_0\) con i due quadrati (bianchi) ad essa adiacenti.
Chiaramente \(A_0=1\), \(B_0=1\) e \(C_0=3A_0=3\); inoltre, \(B_0+C_0=4\).

Al passo \(1\), operiamo allo stesso modo con \(B_0\), dividendolo in quattro parti usando i suoi assi di simmetria.
[asvg]xmin=0; xmax=2;ymin=0; ymax=2;
noaxes();
fill="yellow"; stroke=0.5;
rect([1.5,1.5],[2,2]);
fill="red";
rect([0,0],[1,1]); rect([1,1],[1.5,1.5]);
fill="none"; stroke="black";
rect([0,0],[2,2]);
line([1,0],[1,2]); line([0,1],[2,1]);
line([1.5,1],[1.5,2]); line([1,1.5],[2,1.5]);[/asvg]
Chiamiamo \(B_1\) l'area del quadrato evidenziato in giallo, \(A_1\) l'area della figura ottenuta giustapponendo i due quadrati rossi e \(C_1\) l'area della figura ottenuta giustapponendo ad \(A_1\) i quadrati bianchi ad esso adiacenti.
Chiaramente \(A_1=A_0+1/4=1+1/4\), \(B_1=1/4\) e \(C_1=3A_1\); inoltre, \(B_1+C_1=4\).

Al passo \(2\), operiamo su \(B_1\) così come fatto in precedenza.
[asvg]xmin=0; xmax=2;ymin=0; ymax=2;
noaxes();
fill="yellow"; stroke=0.5;
rect([1.75,1.75],[2,2]);
fill="red";
rect([0,0],[1,1]); rect([1,1],[1.5,1.5]); rect([1.5,1.5],[1.75,1.75]);
fill="none"; stroke="black";
rect([0,0],[2,2]);
line([1,0],[1,2]); line([0,1],[2,1]);
line([1.5,1],[1.5,2]); line([1,1.5],[2,1.5]);
line([1.75,1.5],[1.75,2]); line([1.5,1.75],[2,1.75]);[/asvg]
Come sopra, chiamiamo \(A_2\) l'area della figura ottenuta giustapponendo i quadrati rossi; \(B_2\) l'area del quadratino giallo; e \(C_2\) l'area della figura ottenuta giustapponendo ad \(A_2\) i quadratini bianchi.
Chiaramente \(A_2=A_1+1/16=1+1/4+1/16\), \(B_2=1/16\), \(C_2=3A_2\); inoltre, \(B_2+C_2=4\).

...

Supponiamo di aver già compiuto \(N-1\) passi (con \(N\geq 1\)), ed avere ottenuto le tre quantità \(A_{N-1}\), \(B_{N-1}\) e \(C_{N-1}\) tali che \(A_{N-1}=1+1/4+1/16+\cdots + 1/4^{N-1} = \sum_{n=0}^{N-1} 1/4^n\), \(B_{N-1}=1/4^{N-1}\) e \(C_{N-1}=3A_{N-1}\).

Al passo \(N\) dividiamo il quadratino giallo \(B_{N-1}\) in quattro quadratini equiestesi usando gli assi.
Chiamiamo \(A_N\) l'area della figura ottenuta giustapponendo tutti i quadratini rossi; \(B_N\) l'area dell'unico quadratino giallo; e \(C_N\) l'area della figura ottenuta giustapponendo ad \(A_N\) i quadratini bianchi ad essa adiacenti.
Come sopra, per evidenti motivi geometrici risulta \(A_N=A_{N-1} + 1/4^N = \sum_{n=0}^N \frac{1}{4^n}\), \(B_N=1/4^N\) e \(C_N=3A_N\); inoltre \(B_N+C_N=4\).

All'aumentare del numero dei passi, la quantità \(B_N\) diviene via via sempre più piccola, i.e. si avvicina a zero; ciò comporta che la quantità \(C_N\) diviene via via sempre più vicina a \(4\) (perché \(C_N=4-B_N\)). Ma, d'altra parte, si ha \(C_N=3A_N\), sicché \(A_N\) diviene via via sempre più vicina a \(4/3\), che è ciò che si voleva dimostrare. \(\square\)

[kobeilprofeta]

Sparo

$\sum_{n=1}^{infty} (1/4)^n$

Edit: ho letto ora le risposte precedenti e mi ritrovo...

[Sk_Anonymous]

"kobeilprofeta":Sparo

$\sum_{n=1}^{infty} (1/4)^n$

Edit: ho letto ora le risposte precedenti e mi ritrovo...

A rigore questo (cioè quello nello spoiler) non significa nulla.

[gugo82]

Esercizio:

È possibile generalizzare la figura precedente in modo da ricavare un'espressione per:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^{2n}}\; ,
\]
ove \(p\) è un fissato numero naturale \(\geq 2\)?

[gugo82]

Prendiamo \(p=4\) e calcoliamo geometricamente:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^{2n}}\; .
\]
Preso un quadrato di lato \(4\), lo si divide in \(16\) quadratini uguali, si colora di rosso il quadratino in basso a sinistra e di giallo il quadratino in alto a destra:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=0;ymax=16;
noaxes();
rect([0,0],[16,16]);
line([0,4],[16,4]); line([0,8],[16,8]); line([0,12],[16,12]);
line([4,0],[4,16]); line([8,0],[8,16]); line([12,0],[12,16]);
fill="red"; rect([0,0],[4,4]);
fill="yellow"; rect([12,12],[16,16]);[/asvg]
poi si divide il quadratino giallo in \(16\) quadratini e si procede come sopra, ottenendo:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=0;ymax=16;
noaxes();
rect([0,0],[16,16]);
line([0,4],[16,4]); line([0,8],[16,8]); line([0,12],[16,12]);
line([4,0],[4,16]); line([8,0],[8,16]); line([12,0],[12,16]);
line([12,13],[16,13]); line([12,14],[16,14]); line([12,15],[16,15]);
line([13,12],[13,16]); line([14,12],[14,16]); line([15,12],[15,16]);
fill="red"; rect([0,0],[4,4]); rect([12,12],[13,13]);
fill="yellow"; rect([15,15],[16,16]);[/asvg]
poi si divide il quadratino giallo in \(16\) quadratini e si procede come sopra, ottenendo:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=0;ymax=16;
noaxes();
rect([0,0],[16,16]);
line([0,4],[16,4]); line([0,8],[16,8]); line([0,12],[16,12]);
line([4,0],[4,16]); line([8,0],[8,16]); line([12,0],[12,16]);
line([12,13],[16,13]); line([12,14],[16,14]); line([12,15],[16,15]);
line([13,12],[13,16]); line([14,12],[14,16]); line([15,12],[15,16]);
line([15,15.25],[16,15.25]); line([15,15.5],[16,15.5]); line([15,15.75],[16,15.75]);
line([15.25,15],[15.25,16]); line([15.5,15],[15.5,16]); line([15.75,15],[15.75,16]);
fill="red"; rect([0,0],[4,4]); rect([12,12],[13,13]); rect([15,15],[15.25,15.25]);
fill="yellow"; rect([15.75,15.75],[16,16]);[/asvg]
Etc...

L'area dell'unione dei quadratini rossi è uguale ad \(1/15\) dell'area della figura ottenuta unendo i quadratini rossi e bianchi, ossia ad \(1/15\) dell'area di tutto il quadrato di lato \(4\): perciò:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^{2n}} = \frac{1}{15}\ 4^2 = \frac{16}{15}\; .
\]

In generale, lo stesso procedimento consente di rendersi conto che vale:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^{2n}} = \frac{p^2}{p^2-1}\; ,
\]
per ogni \(p\in \mathbb{N}\) con \(p\geq 2\).

[theras]

@Gugo.
Pensando a questo problema c'è una cosa che mi stà facendo scervellare :
se la ragione della serie fosse stata $1/2$ si può pensare alla sua somma come ad una sorta di ricoprimento iterativo di $[0,2] times [0,1]$ con quadrati(di rispettivi lati $(1/2)^n$..)e rettangoli(di base lunga quanto il quadrato che lo precede nell'iterazione ed altezza uguale alla sua metà),
o sbaglio?
Di ciò sono abbastanza sicuro,ma non riesco ad estendere questa visuale euristica alla tua ragione del primo post né tanto meno ad un qualunque $q in (0,1)$;
avevo pensato ad una qualche similitudine,buona ai miei fini, da impostare con le aree d'altri opportuni "poligoni iterativi",ma sono ad un punto morto di questa ricerca:
eppure la strada che t'ho illustrato(male e dilungandomi come al solito )non mi pare così malaccio..
Và beh:
magari puoi darmi tu un moderato (bentornato,a proposito!)input per schiodarmi,
altrimenti grazie comunque per l'attenzione.
Saluti dal web.