Triangolo rettangolo

[axpgn]

Data l'ipotenusa, costruire un triangolo rettangolo in modo che la mediana relativa all'ipotenusa sia la media geometrica dei cateti.

Cordialmente, Alex

[@melia]

Domandina estiva facile, facile.

Dopo aver osservato che la mediana è la metà dell'ipotenusa, il problema si riduce ad un'equazione con la definizione di media geometrica e una con il teorema di Pitagora. Le soluzioni sono
Per i cateti $(sqrt6 +- sqrt2)/4*i $
Per gli angoli $15°$ e $75°$

[axpgn]

Ok

Ma senza calcolare i cateti (né gli angoli che è la stessa cosa) come lo costruiresti?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Direi che la soluzione di @melia è la migliore possibile perché rapida ed elementare; anche la soluzione trigonometrica è rapida. La costruzione geometrica che ho trovato è invece più lunga, ma la mando.

Figura
- ABC è il triangolo da trovare, rettangolo in B;
- D è il quarto vertice del rettangolo ABCD;
- E è l'intersezione del prolungamento di DC con la parallela ad AC passante per B;
- F,G sono le proiezioni ortogonali di B,E sulla retta AC.

Analisi del problema
Due parallelogrammi aventi un lato in comune ed il lato opposto sulla stessa parallela sono equivalenti, quindi

$AB*BC=S(ABCD)=S(ABEC)=S(BEGF)=BE*BF$

Occorre che questo risultato sia uguale al quadrato della mediana; poiché BE ne è il doppio, BF deve esserne la metà, quindi $BF=1/4BE$

Costruzione
Perpendicolarmente fra loro, disegno BE (a piacere) e $BF=1/4BE$; per F traccio la parallela a BE, su cui deve giacere C. Inoltre C vede BE sotto un angolo retto, quindi sta sulla circonferenza di diametro BE; è quindi una delle intersezioni di queste due curve (l'altra intersezione dà un triangolo uguale, a cateti scambiati).
Trovo poi A completando il parallelogramma ABEC.

[axpgn]

"giammaria":Direi che la soluzione di @melia è la migliore possibile perché rapida ed elementare;

Io penso che ne esista una più rapida

[AleGa1]

Io direi: dato un esagono inscritto in un cerchio, tracciare l’asse relativo al lato CD. A e B sono le intersezioni tra cerchio e asse. ABC è il triangolo che soddisfa le condizioni imposte.

Scusami AleGa, ho messo il messaggio nascosto perché in questa sezione di solito facciamo così, in tal modo solo chi vuole vede la soluzione, il problema resta anche per chi viene dopo e vuole cimentarsi.

[axpgn]

Complimenti!
Questa è proprio una soluzione bellissima!
La mia è una via di mezzo

Dovresti però mettere la soluzione sotto spoiler per non influenzare altri che vorrebbero partecipare.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

La soluzione di AleGa è senz'altro bellissima, ma come si dimostra velocemente che è davvero soluzione? Io riesco solo a pensare a calcoli trigonometrici o lunghetti, per di più fattibili solo a posteriori.
Axpgn, qual è la tua soluzione?

[axpgn]

Ecco la mia allora …

Siano $a$ e $b$ i cateti e $c=\bar(AB)$ l'ipotenusa data.

Disegno un semicerchio di diametro $\bar(AB)$.
Sappiamo che $sqrt(ab)=c/2$ cioè $4ab=c^2$ ma anche che $ab=ch$ dove $h$ è l'altezza relativa all'ipotenusa.
Da ciò $h=c/4$.
Tracciamo la parallela ad $\bar(AB)$ ad altezza $c/4$; la sua intersezione $C$ col semicerchio è il punto cercato.

Cordialmente, Alex

P.S.:

Direi che la soluzione di AleGa è come la mia ma con un "disegno" differente.

[giammaria2]

Grazie mille; bellissima.

[AleGa1]

Scusate per lo spoiler ma non trovo il modo di nascondere il testo. Confermo anche quanto scritto da Alex.

[axpgn]

@AleGa
[ot]Devi premere il pulsante "spoiler" nel form di risposta e scrivere il testo tra i due tag "spoiler" e "/spoiler"[/ot]

[@melia]

Nella pagina di immissione della risposta lo spoiler si trova nella seconda riga dei comandi tra “regolamento” e “strike”.
Ho i miei anni e quando lavoro da tablet sono lenta. Tra l’approvazione del messaggio e la trasformazione in spoiler c’è stato il richiamo di axpgn.

[Erasmus_First]

[ot]

"@melia":[...] Ho i miei anni e quando lavoro da tablet sono lenta. [...]

Io di anni ne ho di più ... tanti che, essendo da tempo non più in grado di apprendere cose nuove, non ho il "tablet" ((moderna diavoleria che non saprei usare).[/ot]


@ axpn
Complimenti, Alex! Per me la tua soluzione è la migliore in assoluto, insuperbile!

Lasciatemi dire fin che sono ancora abbastanza lucido, (prima di cadere definitivamente nella demenza senile), anche se ripeterò cose già dette da Alex.

Sia z la data ipotenusa del triangolo rettangolo, siano x ed y i cateti incogniti e sia S l'area del triangolo.
La mediana relativa all'ipotenusa è z/2; e il testo del quiz chiede che sia xy = (z^2)/4.
Ma xy è anche pensabile come doppio dell'area del triangolo . [E' sempre 2S = ].
Ossia – ecco l'elegante rilievo di Alex – :
2S = xy = (z^2)/4 = z·(z/4) [size=150] ⇒[/size] = .
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