Triangoli monocromatici

[Pachisi]

I lati e le diagonali di un ottagono regolare sono colorati in rosso o nero. Dimostrare che esistono almeno 8 triangoli monocromatici con i vertici nei vertici dell'ottagono.

[axpgn]

Ci provo ...

Numeriamo i vertici dell'ottagono da $1$ a $8$ in sequenza; coloriamo in un modo tutti i segmenti che hanno estremi di parità discordante e in un altro colore quelli che hanno estremi della stessa parità; avremo due quadrati ($1-3-5-7$ e $2-4-6-8$) e relative diagonali dello stesso colore mentre tutti gli altri segmenti saranno dell'altro colore.
Ognuno dei due quadrati con le relative diagonali forma quattro triangoli dello stesso colore per un totale di otto.
Se ora cambiamo colore ad uno dei lati dei quadrati "distruggiamo" due triangoli dello stesso colore ma contemporaneamente ne formiamo due dell'altro; lo stesso accade con le diagonali.
Quindi abbiamo sempre otto triangoli dello stesso colore ... o almeno mi pare ...

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Complimenti per l'idea: molto intrigante.

Forse è una semplice conseguenza di quello che hai già esposto, ma direi che la prova non è completa, se ho inteso bene il senso del problema.

[axpgn]

Sì, lo so cosa intendi: finora ho provato che è vero se partiamo da una situazione in cui i segmenti "discordi" sono tutti dello stesso colore; ma se si prosegue nel ragionamento che ho fatto, si può provare che partendo con uno dei segmenti "discordi" colorato diversamente dagli altri suoi "simili", al cambiamento di colore di uno di quelli "concordi" spariscono alcuni triangoli monocromi ma ne compaiono altri; e questo vale anche se si parte con due, tre, ecc. segmenti discordi colorati diversamente (tra l'altro aumentando questo numero si parte già con un maggior numero di triangoli monocromi); inoltre fatto questo per una "porzione" la si può ripetere per le altre sette ...
Certamente esplicitarlo tutto in dettaglio è un po' lungo ma l'idea è quella e mi pare funzioni ...

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Ok, mi pare funzioni
Comunque, c'e` un modo di farlo "tutto in un caso".

[Thomas16]

Ciao a tutti, il problema lo trovo carino/interessante ed ho provato a ritrovare, senza particolare successo, la soluzione di Pachisi.

Finora i tentativi che mi sembrava potessero avere un senso partivano quasi tutti dal considerare un singolo vertice ed i lati di colore uguale che da questo vertice partivano (e.g. un ragionamento di partenza può consistere nell'osservare che questi lati monoctromatici devono essere almeno 4). Quindi riuscivo a dimostrare l'esistenza di alcuni (pochi) triangoli monocromatici partendo da un singolo vertice, ma la difficoltà però arrivava nel dimostrare che se applicavo lo stesso ragionamento partendo da altri verici i nuovi triangoli venissero diversi dai precedenti. Immagino ci voglia un approccio diverso che vede fin dall'inizio la situazione in modo più globale...

Per aumentare le possibilità di successo quando avrò tempo a darci un secondo tentativo, qualcuno mi potrebbe dare un suggerimento?

Thomas

[Pachisi]

Prova a considerare il massimo numero di triangoli non monocromatici.

[Thomas16]

Allora proviamoci di nuovo. Prendiamo un bel respiro...

Abbiamo in totale C(8,3)=56 triangoli, quindi supponiamo per assurdo che il numero di triangoli non-monocromatici sia N>48. Ad ogni triangolo non-monocromatico possiamo associare 2 coppie di segmenti con un vertice in comune ma i lati di colore diverso. Per intenderci ognuna di queste coppie forma una forma a V con un lato rosso ed un lato nero. Quindi abbiamo K=2N>96 di queste"V". Ogni forma a V possiede un ben definito vertice (lo spigolo interno) e possiamo dividere queste coppie in sottoinsiemi a seconda del loro vertice. Abbiamo solo 8 vertici nell'ottagono e almeno 96 forme a V. Quindi esiste un vertice a cui sono associate un numero di "V" strettamente maggiore di 96/8=12. A questo punto però da un vertice possono partire al massimo 12 V di questo tipo (il numero massimo si ha quando in quel vertice sono incidenti esattamente 4 lati di un colore e 3 dell'altro) da cui l'assurdo. Quindi N<=48.

Come vi sembra?

[Vincent46]

è corretto. Questo è il metodo che conoscevo io.