Triangoli e parabole

[donald_zeka]

Siano dati dei triangoli equilateri di lato 1,3,5,7,9... messi uno accanto all'altro su una retta. Dimostrare che i vertici che non stanno sulla retta stanno su una parabola.

[Black Magic]

Ci provo!
Sia dato un sistema di riferimento Oxy. Sia y la retta dove giacciono le basi dei triangoli equilateri. I vertici che non giacciono sull'asse y devono avere per coordinate:

$((\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{2n+1}{2}), \frac{2n+1}{2}+n^2)$

Si noti che se questi punti sono descritti da una parabola, anche quelli rispettivamente simmetrici rispetto all'asse y debbono esserlo. Questo implica che l'asse y è l'asse di simmetria della parabola.
Se questi punti appartengono ad una parabola, deve essere uguale la distanza di questi da un punto F (chiamato fuoco) e da una retta $d$ (direttrice).
Siano:
$F=(0,a)$
$d: y= -b$
In generale devo avere un'equazione della forma:
$y=\frac{x^2}{2(b+a)}-\frac{b-a}{2}$

Se esiste una parabola passante per i punti dati, un'equazione di questo tipo dev'essere verificata e sostituendo i punti deve esserlo identicamente, dunque ho che:
$(\frac{12}{32\alpha}-1)n^2+(\frac{12}{32\alpha}-1)n-(\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2})=0$

dove $\beta=b-a$ e $\alpha=b+a$

E risulta vero per:
$b=\frac{11}{16}$
$a=-\frac{5}{16}$.

[donald_zeka]

Penso vada bene la tua soluzione, io più semplicemente avrei fatto:

Nell'$n$-esimo triangolo l'altezza vale $y=sqrt(3)(n-1/2)$, inoltre se si pongono i triangoli sull'asse $x$ l'ascissa dell'$n$-esima altezza vale $n^2-n+1/2=(n-1/2)^2+1/4$. Anche senza calcoli si vede subito che la parabola $x=(1/3)y^2+1/4$ contiene i vertici dei triangoli.

[Black Magic]

Ottima e preferibile anche la tua soluzione!

[Erasmus_First]

Non è necessario che i triangoli siano equilateri. E non è neanche necessario che la figura ripetuta sia un triangolo.
Analogamente succede per figure di qualsiasi tipo purché simili [ed ugualmente orientate) e di dimensioni crescenti in progressione aritmetica.
Punti corrispondenti (tranne quelli sulla retta di appoggio) sono invece allineati su una retta se le dimensioni delle figure crescono in progressione geometrica.
________