Tre reali, da un origine comune.
Siano $a,b,c$ numeri reali distinti non nulli. Se le equazioni $ax^3+bx+c=0$, $bx^3+cx+a=0,$ e $cx^3+ax+b=0$ hanno una radice comune, provare che almeno una di queste ha tre radici reali.
Risposte
Ci provo, anche se non sono completamente sicuro.
Sia $x_1$ la radice in comune, allora, $ ax_1^3+bx_1+c=0 $, $ bx_1^3+cx_1+a=0, $ e $ cx_1^3+ax_1+b=0 $. Sommando membro a membro, abbiamo $(a+b+c)x_1^3+(a+b+c)x_1+(a+b+c)=0$. Dunque, $(a+b+c)(x_1^3+x_1+1)=0$. Se fosse $x_1^3+x_1+1=0$, allora $a=b=c$, pero` $a,b,c$ devono essere distinti. Allora, $a+b+c=0$. Dunque, sostituendo $c=-(a+b)$ nelle tre equazioni iniziali, troviamo $a(x^3-1)+b(x-1)=0$, $bx(x^2-1)-a(x-1)=0$ e $ax(x^2-1)+b(x^3-1)=0$. Notiamo che la terza è semplicemente la somma delle prime due, quindi basta lavorare con le prime due. Semplificando, troviamo che $(x-1)(ax^2+ax+a+b)=0$ e $(x-1)(bx^2+bx-a)=0$. Quindi, $x=1$ è la radice in comune. Dunque, sia $x \ne 1$. Allora, $ax^2+ax+a+b=0$ e $bx^2+bx-a=0$. Siano $\Delta_1$ e $\Delta_2$ i discriminanti della prima e seconda equazione, rispettivamente. Allora $\Delta_1=-(3a^2+4ab)$ e $\Delta_2=b^2+4ab$. Essendo $3a^2$ e $b^2$ maggiori di zero, il segno dei discriminanti è dato che $4ab$. Se $4ab>0$, $\Delta_1 < 0$ e $\Delta_2 >0$. Dunque, la seconda equazione ha due radici reali e quindi $bx^3+cx+a=0$ ha tre radici reali. Se $4ab<0$, allora $\Delta_2 <0$ e $\Delta_1 >0$, quindi $ax^3+bx+c=0$ ha tre radici reali. In ogni caso, almeno una delle tre equazioni ha tre radici reali.
Può andare?
Sia $x_1$ la radice in comune, allora, $ ax_1^3+bx_1+c=0 $, $ bx_1^3+cx_1+a=0, $ e $ cx_1^3+ax_1+b=0 $. Sommando membro a membro, abbiamo $(a+b+c)x_1^3+(a+b+c)x_1+(a+b+c)=0$. Dunque, $(a+b+c)(x_1^3+x_1+1)=0$. Se fosse $x_1^3+x_1+1=0$, allora $a=b=c$, pero` $a,b,c$ devono essere distinti. Allora, $a+b+c=0$. Dunque, sostituendo $c=-(a+b)$ nelle tre equazioni iniziali, troviamo $a(x^3-1)+b(x-1)=0$, $bx(x^2-1)-a(x-1)=0$ e $ax(x^2-1)+b(x^3-1)=0$. Notiamo che la terza è semplicemente la somma delle prime due, quindi basta lavorare con le prime due. Semplificando, troviamo che $(x-1)(ax^2+ax+a+b)=0$ e $(x-1)(bx^2+bx-a)=0$. Quindi, $x=1$ è la radice in comune. Dunque, sia $x \ne 1$. Allora, $ax^2+ax+a+b=0$ e $bx^2+bx-a=0$. Siano $\Delta_1$ e $\Delta_2$ i discriminanti della prima e seconda equazione, rispettivamente. Allora $\Delta_1=-(3a^2+4ab)$ e $\Delta_2=b^2+4ab$. Essendo $3a^2$ e $b^2$ maggiori di zero, il segno dei discriminanti è dato che $4ab$. Se $4ab>0$, $\Delta_1 < 0$ e $\Delta_2 >0$. Dunque, la seconda equazione ha due radici reali e quindi $bx^3+cx+a=0$ ha tre radici reali. Se $4ab<0$, allora $\Delta_2 <0$ e $\Delta_1 >0$, quindi $ax^3+bx+c=0$ ha tre radici reali. In ogni caso, almeno una delle tre equazioni ha tre radici reali.
Può andare?
secondo me, è da chiarire il passaggio colorato in rosso
Anche la conclusione va rivista un po'. Bisogna analizzare qualche sottocaso in più.
"Pachisi":
Dunque, $(a+b+c)(x_1^3+x_1+1)=0$. Se fosse $x_1^3+x_1+1=0$, allora $a=b=c$, pero` $a,b,c$ devono essere distinti. Allora, $a+b+c=0$.
Anche la conclusione va rivista un po'. Bisogna analizzare qualche sottocaso in più.
"Pachisi":
Allora $\Delta_1=-(3a^2+4ab)$ e $\Delta_2=b^2+4ab$. Essendo $3a^2$ e $b^2$ maggiori di zero, il segno dei discriminanti è dato che $4ab$. Se $4ab>0$, $\Delta_1 < 0$ e $\Delta_2 >0$. Dunque, la seconda equazione ha due radici reali e quindi $bx^3+cx+a=0$ ha tre radici reali. Se $4ab<0$, allora $\Delta_2 <0$ e $\Delta_1 >0$, quindi $ax^3+bx+c=0$ ha tre radici reali. In ogni caso, almeno una delle tre equazioni ha tre radici reali.
Può andare?
Infatti il primo passaggio che hai evidenziato era quello dove avevo dubbi. Pensavo, se $x_1$ soddisfa $x_1^3+x+1=0$ allora soddisfarà anche $ax_1^3+ax_1+a=0 $. Dunque, dovrebbe essere $a=b=c$, che è impossibile.
Sulla conclusione non mi viene niente. Ora la riguardo.
Sulla conclusione non mi viene niente. Ora la riguardo.
Mi ero scordato di rispondere, comunque credo di esserci riuscito.
Nel caso $4ab<0$ considero $a>0$ e $b<0$ (l'altro caso è molto simile).
Trovo che per $a> -frac{4b}{3}$ abbiamo $ \Delta_1>0 $, per $0 -frac{b}{4}$ abbiamo $ \Delta_2<0$, ed infine per $00$. Mettendo tutto insieme troviamo che se $a> -frac{b}{4}$ si ha $ \Delta_1>0$ e $ \Delta_2<0$, per $-frac{4b}{3}0$ e $ \Delta_2>0$, e per $00$. In ogni caso, almeno uno tra $\Delta_1$ e $\Delta_2$ è positivo, quindi almeno una delle due equazioni finali ha due radici reali e, dunque, almeno una delle tre equazioni iniziali ha tre radici reali.
Nel caso $4ab<0$ considero $a>0$ e $b<0$ (l'altro caso è molto simile).
Trovo che per $a> -frac{4b}{3}$ abbiamo $ \Delta_1>0 $, per $0
Secondo me, questo passo non è sufficientemente provato (e forse nemmeno facile da provare):
se $x_1$ soddisfa $x_1^3+x_1+1=0$ allora $a=b=c$.
Hint
se $x_1$ soddisfa $x_1^3+x_1+1=0$ allora $a=b=c$.
Hint
Ciao,
non ho seguito con attenzione tutta la discussione, perché volevo provare a fare qualche calcolo per conto mio.
Però, provando a scrivere qualcosa, il primo risultato che ho ottenuto è stato proprio quello indicato in spoiler da sprmnt21.
Magari in seguito mi farò risentire, quando capirò se il resto della dimostrazione è stato già postato da altri oppure no...
non ho seguito con attenzione tutta la discussione, perché volevo provare a fare qualche calcolo per conto mio.
Però, provando a scrivere qualcosa, il primo risultato che ho ottenuto è stato proprio quello indicato in spoiler da sprmnt21.
Magari in seguito mi farò risentire, quando capirò se il resto della dimostrazione è stato già postato da altri oppure no...
Una breve/veloce 
(nel senso che non ci sono state tante osservazioni) discussione del problema si trova qui:
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 30p5353420
(nel senso che non ci sono state tante osservazioni) discussione del problema si trova qui:http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 30p5353420
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