Tre reali

[zimmerusky]

siano $a, b, c$ reali tali che
$a+b+c = 0, a^2+b^2+c^2 = 128, a^5+b^5+c^5 = 28800$. Quanto vale $a^3+b^3+c^3$?

[giammaria2]

Prima equazione
Ricavo $c=-(a+b)$

Seconda equazione
Sostituisco il valore di $c$ ed ho
$a^2+b^2+(a+b)^2=128$
$a^2+b^2+a^2+2ab+b^2=128$
$a^2+ab+b^2=64$

Terza equazione
Sostituisco il valore di $c$ ed ho
$a^5+b^5-(a+b)^5=28800$
$a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=28800$
$-5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)=28800$
$-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=28800$
e per il risultato della seconda equazione
$-5ab(a+b)*64=28800$
$ab(a+b)=-90$

Calcolo del richiesto $x=a^3+b^3+c^3$
Sostituisco il valore di $c$ ed ho
$x=a^3+b^3-(a+b)^3=a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=-3ab(a+b)$
e per il risultato della terza equazione
$x=-3*(-90)=270$

Approfondimento e perplessità
Resta da controllare che $a,b,c$ siano reali; basta farlo per $a,b$ perché $c$ viene di conseguenza.
Eliminando $c$ e facendo i calcoli come sopra indicato, ho il sistema
${(a^2+ab+b^2=64),(ab(a+b)=-90):}$
Con le sostituzioni $a+b=s; ab=p$ ottengo
${(s^2-p=64),(sp=-90):}->...->{(p=-90/s),(s^3-64s+90=0):}$
Mi sembra strano che l'ultima equazione non abbia soluzioni razionali e mi chiedo se c'è qualche errore nei dati; con metodo grafico trovo però che l'equazione ha tre soluzioni reali, due delle quali con $s>0$ e quindi $p<0$.
In corrispondenza a queste due sono sicuramente reali $a,b$: infatti sono le soluzioni dell'equazione $z^2-sz+p=0$, il cui discriminante è $Delta=s^2-4p$, che è certo positivo quando $p<0$.

[zimmerusky]

Risultato giusto e bella soluzione, io come al solito mi ero perso nei conti perchè non mi era venuto in mente di risolverlo con la Prima equazione che hai scritto
L'approfondimento finale poi è un tocco di classe, questo esercizio viene da una gara a squadre in cui bisogna solo trovare il risultato numerico senza dimostrazione, quindi hai fatto anche più del necessario

[axpgn]

Io invece son partito come giammaria, ne ho provate diverse ma non ho mai trovato la scomposizione giusta, questa

$ -5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=28800 $

Cordialmente, Alex