Tre numeri - II

[axpgn]

Seconda puntata (qui la prima)

a)
In quanti modi diversi è possibile scrivere un numero $n$ come somma di tre interi non negativi?

[le somme che differiscono solo per l'ordine degli addendi sono da considerarsi uguali; per esempio $6=1+2+3$ si considera uguale a $6=3+2+1$]

b)
E quanti invece se i tre numeri sono positivi ?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Beh, se lo vuoi preciso preciso, basta applicare la "mia" formula
Comunque per numeri "grandi", basta che dividi la tua parabola per il rapporto che ho trovato, per aggiungere sei/sette cifre alla precisione del risultato

Abbi pazienza, prima o poi la pubblico (se non la trova prima qualcun altro ... )

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"Erich": per ottenere un risultato più preciso devo scegliere i tre punti del grafo $(n,F(n))$ con $n$ più grandi? O c'è un altro modo per essere più precisi?

Anche se vi sono diversi procedimenti per trovare espressioni corrette senza ricorrere ai valori determinati con programmi (ad esempio riducendo $ Q(n)=((n+2),(2)) $, che è il numero di somme possibili considerando diverse terne di addendi che differiscono solo per la posizione), per verificare l'ipotesi che la funzione sia approssimabile con una parabola e individuarne i coefficienti, puoi utilizzare le differenze finite: le differenze fra valori successive devono crescere linearmente e quindi le differenze delle differenze dovrebbero essere costanti.

Ciao

[thawra69]

Non è il problema dei numeri triangolari?
Mi sembra che un indiano tempo fa aveva dato dei contributi, ma il problema rimaneva aperto, a parte casi particolari

[axpgn]

Ecco la mia soluzione …

La risposta equivale a calcolare le soluzioni dell'equazione $n=x+y+z$, dove $x, y, z$ sono interi non negativi con il vincolo $x>=y>=z$, in quanto, date le condizioni del problema, ci possiamo sempre ricondurre a questa forma.
Poniamo $a=z$, $b=y-z$ e $c=x-y$. Questi sono numeri non negativi che rispettano il vincolo e che ci permettono di riscrivere così il nostro problema: $z=a$, $y=z+b=a+b$ e $x=y+c=a+b+c$ e quindi $n=x+y+z=3a+2b+c$ ovvero abbiamo scomposto $n$ come la somma di una certa quantità di $1$, una cert'altra quantità di $2$ e una terza quantità di $3$.
Il numero di queste possibili scomposizioni ci dà la risposta e questo numero è dato dall'espressione $(n+3)^2/12$ arrotondata all'intero più vicino.
Questa "formula" l'ho ricavata con metodo analogo a quello che ho usato qui.

Il punto b) è praticamente un corollario …

Cordialmente, Alex