Tre equazioni diofantee
Propongo di risolvere le tre seguenti equazioni diofantee... determinare le soluzioni intere delle seguenti equazioni nelle incognite \(a\) e \(b\):
- [*:3dmswi1d]\(a^3+b^3=91\);[/*:m:3dmswi1d][*:3dmswi1d]\(a^2-2^b=1\);[/*:m:3dmswi1d][*:3dmswi1d]\(3^a-b^3=1\).[/*:m:3dmswi1d][/list:u:3dmswi1d]
Una parolina: in generale, le ultime due equazioni diofantee sono casi particolari della [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_conjecture]congettura di Catalan[/url] (in English) enunziata nel 1844 e risolta nel 2002 da Mihăilescu.
P.S.: Ho già in mente un rilancio!
Risposte
Mi sono venute queste sciocchezze:
1) $3^3+4^3=27+64=81$
2 e 3) $3^2-2^3=9-8=1$
Se vanno bene anche i negativi, per il punto 1: $6^3+(-5)^3=216-125=91$
1) $3^3+4^3=27+64=81$
2 e 3) $3^2-2^3=9-8=1$
Se vanno bene anche i negativi, per il punto 1: $6^3+(-5)^3=216-125=91$
Certo che vanno bene anche i numeri negativi, sono pur sempre numeri interi!
La cosa importante non è la soluzione ma come arrivi alla soluzione. -_- Su questo punto voi studenti delle scuole secondarie, lasciatemelo scrivere, siete duri di cervìce!
A questo punto rilancio: studiare l'equazione diofantea \(a^3\pm b^3=p\cdot q\) con \(p\) e \(q\) numeri primi distinti (possono anche essere negativi)(*).
§§§
(*) Determinare una o più condizioni su \(p\) e \(q\) affinché quelle equazioni abbia soluzioni intere!
La cosa importante non è la soluzione ma come arrivi alla soluzione. -_- Su questo punto voi studenti delle scuole secondarie, lasciatemelo scrivere, siete duri di cervìce!
A questo punto rilancio: studiare l'equazione diofantea \(a^3\pm b^3=p\cdot q\) con \(p\) e \(q\) numeri primi distinti (possono anche essere negativi)(*).
§§§
(*) Determinare una o più condizioni su \(p\) e \(q\) affinché quelle equazioni abbia soluzioni intere!
"j18eos":
Certo che vanno bene anche i numeri negativi, sono pur sempre numeri interi!
La cosa importante non è la soluzione ma come arrivi alla soluzione. -_- Su questo punto voi studenti delle scuole secondarie, lasciatemelo scrivere, siete duri di cervìce!
A questo punto rilancio: studiare l'equazione diofantea \(a^3\pm b^3=p\cdot q\) con \(p\) e \(q\) numeri primi distinti (possono anche essere negativi)(*).
§§§
(*) Determinare una o più condizioni su \(p\) e \(q\) affinché quelle equazioni abbia soluzioni intere!
Per $a^3-b^3$ il discorso non è difficile scrivo $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ora uso Wlog:
$p|(a-b) \and q|(a^2+ab+b^2)$ cioè $p|(a-b) \and q|(a+b) \and q|ab $
Io baro perché faccio l'università
(però non matematica quindi le diofantee non le ho fatte ) vorrei sapere se basta così la soluzione o devo trovare roba tipo $q>p$ etc anche perché ora non mi viene nulla in mente.Per $a^3 +b^3$ il discorso è più rognoso...ci penso un po' ancora non credo di essere arrivato alla soluzione completa.
Ok non credo di essere 7arrivato a qualcosa di elegante ma credo possa andare:
$a^3+b^3=pq$
Il primo membro posso scriverlo come: $a^3+3a^2b+3b^2a+b^3=(a+b)^3-3(a^2b+b^2a)$
Da qui ottengo che $pq|(a+b)$ e cioè che $a+b=l.c.m.(p,q)$
Per la seconda condizione cioè $pq|3(a^2b+b^2a)$ uso un Wlog cioè $p>q$ e $p|3$ ,$q|(a^2b+b^2a)$ se p divide 3 ed è intero primo p dev'essere 3 e q = 2 (e da qui troviamo tutte le soluzioni) altrimenti se $p
$a^3+b^3=pq$
Il primo membro posso scriverlo come: $a^3+3a^2b+3b^2a+b^3=(a+b)^3-3(a^2b+b^2a)$
Da qui ottengo che $pq|(a+b)$ e cioè che $a+b=l.c.m.(p,q)$
Per la seconda condizione cioè $pq|3(a^2b+b^2a)$ uso un Wlog cioè $p>q$ e $p|3$ ,$q|(a^2b+b^2a)$ se p divide 3 ed è intero primo p dev'essere 3 e q = 2 (e da qui troviamo tutte le soluzioni) altrimenti se $p
"Ariz93":Falso: \(q=7;a=1;b=2\)!
...Per $a^3-b^3$ il discorso non è difficile scrivo $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ora uso Wlog:
$p|(a-b) \and q|(a^2+ab+b^2)$ cioè $p|(a-b) \and q|(a+b) \and q|ab $...
Suggerimento: risolvi l'equazione diofantea che ho proposta; così tra l'altro capisci perché sbagli anche nel secondo intervento.
Domanda: che c'entra a questo punto il problema di Catalan?
Chiarimento: non ho chiesto una condizione precisa per l'esistenza delle soluzione delle equazioni diofantee in esame.
Faccio il secondo.
Dunque è :
(1) $a^2=2^b+1$
Inizio con l'osservare che per $b<=0,b=1,b=2$ la (1) non restituisce valori interi per $a$. Com'è facile verificare.
Per $b=3$ la (1) dà le soluzioni $(a=-3,b=3),(a=3,b=3)$
Voglio ora dimostrare che queste sono le uniche soluzioni della (1), ovvero che per $b>3$ la(1) non ha soluzioni $\in Z$
Scrivo la (1) così :
$(a-1)(a+1)=2^b$
Questa relazione ci dice che i fattori a primo membro non possono che essere potenze del 2 ad esponente intero non negativo.
Poniamo dunque :
(A) $((a-1=2^u),(a+1=2^{b-u}))$
da cui, essendo ovviamente $a+1>a-1$, ne segue che è pure :
(B) $0<=u
(C) $2=2^{b-u}-2^u$
Per $u=0$ si ha $2^b=3$ che non ha soluzioni intere e per $u=1$ si ha $2^{b-1}=4$ da cui $b=3$ che porta alle soluzioni già trovate.
Per $u>=2$ da (B) si deduce che è $b-u>u>=2$. Ed ancora : $b>2u>=4$ o equivalentemente $b>3$. Allora la (C) si potrà anche scrivere così :
$2=2^2(2^{b-u-2}-2^{u-2})$
e questa relazione non è possibile per valori interi di b perché $2$ non è certo divisibile per $2^2=4$
Resta dunque provato che per $b>3$ non ci sono altre soluzioni intere della (1) diverse da quelle trovate. Detto altrimenti: l'espressione $2^b+1$ non può mai diventare il quadrato esatto di un intero relativo per $b ne 3$
Dunque è :
(1) $a^2=2^b+1$
Inizio con l'osservare che per $b<=0,b=1,b=2$ la (1) non restituisce valori interi per $a$. Com'è facile verificare.
Per $b=3$ la (1) dà le soluzioni $(a=-3,b=3),(a=3,b=3)$
Voglio ora dimostrare che queste sono le uniche soluzioni della (1), ovvero che per $b>3$ la(1) non ha soluzioni $\in Z$
Scrivo la (1) così :
$(a-1)(a+1)=2^b$
Questa relazione ci dice che i fattori a primo membro non possono che essere potenze del 2 ad esponente intero non negativo.
Poniamo dunque :
(A) $((a-1=2^u),(a+1=2^{b-u}))$
da cui, essendo ovviamente $a+1>a-1$, ne segue che è pure :
(B) $0<=u
(C) $2=2^{b-u}-2^u$
Per $u=0$ si ha $2^b=3$ che non ha soluzioni intere e per $u=1$ si ha $2^{b-1}=4$ da cui $b=3$ che porta alle soluzioni già trovate.
Per $u>=2$ da (B) si deduce che è $b-u>u>=2$. Ed ancora : $b>2u>=4$ o equivalentemente $b>3$. Allora la (C) si potrà anche scrivere così :
$2=2^2(2^{b-u-2}-2^{u-2})$
e questa relazione non è possibile per valori interi di b perché $2$ non è certo divisibile per $2^2=4$
Resta dunque provato che per $b>3$ non ci sono altre soluzioni intere della (1) diverse da quelle trovate. Detto altrimenti: l'espressione $2^b+1$ non può mai diventare il quadrato esatto di un intero relativo per $b ne 3$
A questo punto, sulla falsa riga di quanto detto da ciromario,
possiamo trovare tutte le possibili soluzioni intere non negative di $3^a -b^3=1$
(superpippone ha trovato una soluzione, cioè $a=b=2$).
Hint: $3^a =b^3+1<=> 3^a = (b+1)(b^2-b+1)<=> {(b+1=3^x),(b^2-b+1=3^(a-x)):}$, con $x in {0,1,...,a}$
possiamo trovare tutte le possibili soluzioni intere non negative di $3^a -b^3=1$
(superpippone ha trovato una soluzione, cioè $a=b=2$).
Hint: $3^a =b^3+1<=> 3^a = (b+1)(b^2-b+1)<=> {(b+1=3^x),(b^2-b+1=3^(a-x)):}$, con $x in {0,1,...,a}$
@ciromario Soluzione lunga ma interessante... Complimenti per avermi suscitato l'interesse.
@Gi8 Non hai finito, e in più, hai iniziato esattamente come ho fatto io: come concludi? Ricordati che ho scritto che questo è il problema di Catalan, e come puoi leggere ha un unica soluzione: perché?
@Gi8 Non hai finito, e in più, hai iniziato esattamente come ho fatto io: come concludi? Ricordati che ho scritto che questo è il problema di Catalan, e come puoi leggere ha un unica soluzione: perché?
"j18eos":E' vero, l'ho fatto apposta.
@Gi8 Non hai finito
Volevo che qualcun altro (magari delle superiori) andasse a concludere la dimostrazione.
Se invece vuoi che finisca io dimmelo pure, mi sono già scritto ieri i passaggi.
"j18eos":Perdonami, ma non vedo dove l'hai iniziata.
... e in più, hai iniziato esattamente come ho fatto io: ...
Scrivo di come l'ho risolto io il problema nella mia testa; comunque ottima decisione nel fornire un inizio per gli studenti delle superiori!
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