Terne Pitagoriche Primitive

[Gi81]

Definito \( \displaystyle \mathbb{N}=\{1,2,3,4,..\}\), siano \(\displaystyle a,b,c \in \mathbb{N}\).
La terna $(a,b,c)$ è detta terna pitagorica se $a^2+b^2=c^2$.

1) Dimostrare che se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica e $\text{M.C.D.}(a,b)=1$,
allora $c$ è dispari e $a$ e $b$ hanno parità diversa (*).

Definisco terna pitagorica primitiva (brevemente, t.p.p.) una terna pitagorica $(a,b,c)$
tale che $\text{M.C.D.}(a,b)=1$ con $a$ dispari e $b$ pari.

2) Dimostrare che
$(a,b,c)$ t.p.p. \(\displaystyle \implies \qquad \exists m,n \in \mathbb{N}, \quad m>n\) tali che ${(a= m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$

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(*) Due numeri naturali $x$ e $y$ hanno parità diversa se uno dei due è pari e l'altro è dispari

[Pianoth]

Ecco le mie dimostrazioni molto incasinate :

DIMOSTRAZIONE ERRATA, LEGGI I POST SEGUENTI
Parto dal secondo punto, perché più immediato:
se $a = m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2$
allora $(a,b,c)$ è una terna pitagorica se $a^2+b^2=c^2$.
Sostituendo $a$, $b$ e $c$:
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$
Se è vera questa relazione allora è vera anche la tesi, infatti se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica primitiva allora è anche una terna pitagorica.
Orbene, svolgendo i calcoli:
$m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = (m^2+n^2)^2$
$m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$
$(m^2+n^2)^2=(m^2+n^2)^2$

Per il primo punto invece, possiamo dire facilmente che se il $\text[M.C.D.](a,b)=1$
allora $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari in quanto il loro $\text[M.C.D.]$ sarebbe un multiplo di $2$. Tuttavia sappiamo che $b$ deve essere per forza pari per il punto precedentemente dimostrato, dato che $b = 2mn$
e $m,n in NN$. Ciò implica che $a$ è dispari, ergo che $a$ e $b$ hanno parità diversa. D'altra parte, se $a$ è dispari allora anche $a^2$ lo è, e se $b$ è pari allora anche $b^2$ lo è. Essendo $a^2 + b^2 = c^2$ ed essendo $a^2$ dispari e $b^2$ pari abbiamo che $c^2$ è dispari (dato che sommando un numero pari a un numero dispari si ottiene un numero dispari) e che quindi anche $c$ è dispari.
C.V.D.

Mi scuso se ci può essere un po' di difficoltà di lettura a causa delle formule, il massimo che ho potuto fare è andare a capo ogni volta che non si leggeva...

[Gi81]

@Pianoth:

mi spiace, ma hai sbagliato quasi tutto, a livello concettuale.
Infatti il punto 2) non chiede di dimostrare che $(m^2-n^2,2mn, m^2+n^2)$ $qquad qquad qquad$ è t.p.p.,
ma che data una qualsiasi t.p.p. $qquad (a,b,c)qquad$ puoi trovare degli opportuni $m$ e $n$ tali che
${(a= m^2-n^2),(b=2mn),(c=a^2+b^2):}$

Inoltre, non puoi fare prima il punto 2) e dopo il punto 1),
perchè la definizione di t.p.p. discende proprio dal punto 1)

[gio73]

Ciao avevo parlato di terne pitagoriche qui
Oggi ho una giornata molto intensa, quando ho un attimo di tempo (domani o dopo) rifletto con voi.

[j18eos]

@Pianoth Hai dimostrato che: \((a,b,c)\) è una terna pitagorica \(\Longleftarrow\exists m,n\in\mathbb{N},\,m>n\) tali che \(\begin{cases}a= m^2-n^2;\\b=2mn;\\c=m^2+n^2\end{cases}\)

[theras]

Ho la sensazione che questa verifica,effettuando un'opportuna serie di considerazioni
(di non immediata individuazione e da scegliere con criterio ,
ma potenzialmente alla portata di quell'altezza della scolarizzazione..)
possa esser svolta da studenti del Iº anno
(o comunque in grado di risolvere sistemi lineari quadrati in due incognite..):
magari "addolciamone" inizialmente la tesi imponendo il vincolo più semplice
(ma d'altronde in un certo senso necessario,
per quanto dovrebbe esser già stato verificato a quell'altezza del procedimento dimostrativo seguendo la cronologia consigliata di Gi8 ..)
$b=4p_1$,con $p_1$ numero primo dispari
(come a dire $m=2p_1,n=1$,nella notazione del quesito iniziale,che d'altra parte è indispensabile come $m,n$ non siano nella stessa classe di parità in una t.p.p.),
e poi proviamo ad allargarla alla forma,più "complessa",proposta nel quesito di partenza..
Io ho lanciato l'amo:
se nessuno lo coglierà,
scriverò per benino le considerazioni e le sottoporrò all'attenzione d'eventuali interessati..
Saluti dal web.

[j18eos]

Fornisco un suggerimento come domanda:

ma \(a\) e \(b\) possono essere entrambi pari?