Terne pitagoriche e cubi

[Cantor99]

Considera tutte le terne pitagoriche primitive $(x,y,z)$ (sia $z>y>x$): quante di queste sono tali che $x+z$ o $y+z$ è un cubo perfetto?

[orsoulx]

Un'infinità numerabile per ciascuno dei due casi.

Ciao

[Cantor99]

@orsoulx

In base alla mia soluzione (che potrebbe essere sbagliata) l'uniche terna primitiva è $(3,4,5)$.
Me ne faresti vedere un'altra?

[orsoulx]

...faccela vede, faccela t...

una per tipo: 32, 255, 257; 27, 364,365.

Ciao

[Cantor99]

@orsoulx ho corretto l'errore della mia dimostrazione. Se ti va vedi se ha senso il ragionamento:))

Se $(x,y,z)$ è una terna pitagorica primitiva esistono interi $p$,$q$ coprimi tali che $x=p^2-q^2$, $y=2pq$ e $z=p^2+q^2$.
Dunque $x+z=2p^2$ $(i)$ e $y+z=(p+q)^2$ $(ii)$
Nel primo caso dobbiamo trovare $k$ intero tale che $2p^2=k^3$. $k^3$ è pari e si può scrivere come $8h^3$ per $h<=k$. Dunque $2p^2=8h^3$ cioè $p^2=4h^3$. Anche $p^2$ è pari e, in particolare, è multiplo di 4, cioè esiste $l<=p$ tale che $p^2=4l^2$.
La $(i)$ diventa $l^2=h^3$ che ha soluzione $l=m^3$ e $h=m^2$ (io l'avevo risolta con $h=l=1$ pervenendo ad una sola soluzione)
Andando a ritroso si ha $k=8m^6$ e $p^2=4m^6$ e $p=2m^3$.
Tutte le terne per cui $x+z$ è un cubo perfetto sono quelle per cui $p=2m^3$
Per la $(ii)$ si segue lo stesso ragionamento e si perviene alla condizione $p+q=n^3$.
Le tue soluzioni (sperando di non essermi imbrogliato) le ho, la prima (che è nella forma $(i)$) per $(p,q,m)-=(16,1,2)$ mentre la seconda (del tipo $(ii)$) la ho per $(p,q,n)-=(14,13,3)$

Grazie

[orsoulx]

@Cantor99,

sinceramente non so se quanto affermi è corretto, mi pare manchino le condizioni di coprimalità.
Io ho ragionato in questo modo:
caso 1
$ 2m^2$ deve essere un cubo, quindi $ m $ deve essere il doppio di un cubo ed allora $ n
caso2
$ (m+n)^2 $ deve essere un cubo, quindi $ m+n $ deve essere il cubo di un dispari ed allora il cubo in questione deve essere ripartito fra $ m $ ed $ n $, badando che $ m>n$ e non abbiano fattoti in comune.
Ad esempio con $ 27=3^3 $ sono possibili le seguenti coppie $(n,m) rightarrow (1,26),(2,25),(4,23),(5,22), (7,20), (8,19), (10,17),(11,16),(13,14) $

Prego e ciao

[orsoulx]

@Cantor99,

Questa terna (e le infinite altre con la medesima proprietà) 46500, 53851, 71149 a quale caso appartiene?

Ed allora vien da chiedersi: esistono terne pitagoriche nelle quali la somma di due lati qualsiasi sia sempre un cubo?
Ciao

[Cantor99]

Che esistano terne tali che $x+z$ e $y+z$ sia un cubo è assodato basta unire le precedenti condizioni, quindi prendere due interi $p$ e $q$ tali che $p+q=m^3$ e $p=2n^3$ con $m$ dispari. Tipo $(135,352,377)$ che si ottiene per $m=3$ e $n=2$.
Ora non so come provare che $x+y$ può essere un cubo, ci devo pensare

[orsoulx]

@Cantor99;
il mio non era un quiz, ma una domanda che mi sono posto e di cui non conosco la risposta.
Ciao

[Erasmus_First]

@ orsoulx
Canto99 propone di cercare le terne pitagoriche primitive nelle quali la somma dell'ipotenusa col cateto minore o la somma dell'ipotenusa con cateto maggiore è il cubo di un intero. Scrive infatti:

"Cantor99":Considera tutte le terne pitagoriche primitive $(x,y,z)$ (sia $z>y>x$): quante di queste sono tali che $x+z$ o $y+z$ è un cubo perfetto?

"orsoulx":[...] una per tipo: 32, 255, 257; 27, 364,365 [...]

Nella prima terna è la somma dell'ipotenusa con il caterto dispari che è il cubo di un intero, [$255+257 =512 = 8^3$]; nella seconda cubo di un intero la somma dell'ipotenusa col cateto pari, [$364+365 = 729 = 9^3$]. In entrambe le terne è la somma dell'ipotenusa col cateto maggiore che è il cubo di in intero.
I due tipi di ciascuno dei quali fai un esempio – perdonami la pignoleria : – non sono quelli che intendeva Cantor99.

"orsoulx":[...] 46500, 53851, 71149

[size=120]Bellissima! [/size]
[$46500+71149 = 117649=49^3$; $53851 + 71149 =125000=50^3$]
Hai unificato le coppie di tipi! Quelli di Cantor99 [cateto minore o cateto maggiore] ed i tuoi [cateto dispari o cateto pari].
Ciao, ciao.

–––––––––––––––––––––––––––––

"Cantor99":[...] $(135,352,377)$ [...]

Bellissima anche questa!
Anche più bella di quella di orsoulx perchè con numeri molto minori.
[Terna pitagorica primitiva (x, y, z) in cui tanto x + z quanto y + z sono cubi di un intero: $x+z=512 = 8^3$ e $y+z = 729=9^3$].

"Cantor99":[...] non so come provare che $x+y$ può essere un cubo, ci devo pensare

Basta esibire un esempio!
Ecoone uno: $[x, y, z] = [155, 12012, 12013]$. Vedi che $x+y = 12167 = 23^3$.
Ciao Cantor99, ciao a tutti.
_______

[orsoulx]

"Erasmus_First": – perdonami la pignoleroia :

Perdono, perdono ... non sai quante te ne perdono!
A distanza di due settimane non sono in grado di ricordare quale fosse il testo originale, come puoi notare, è stato modificato dopo la mia risposta.
Comunque, per la tua soddisfazione, son pronto ad assumermi la responsabilità di aver, subdolamente, indotto Cantor99 a passare dalla distinzione cateto maggiore/minore a quella pari/dispari, ben più interessante nel suo sviluppo.

Epperò vedi di non ciurlare nel manico: estrapolare la domanda di Cantor99 dal contesto in cui è stata posta è un giochino da dilettanti furbetti. Si stava parlando di terne pitagoriche in cui tutte le coppie di lati abbiano un cubo come somma. Da tempo ho smesso di pensarci, ma se hai un esempio mi piacerebbe assai vederlo.
Ciao

[Cantor99]

Grazie @Erasmus_First per la bella terna, adesso posso dormire tranquillo.
Grazie per aver partecipato anche tu, ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":[quote="Erasmus_First"][...] vedi di non ciurlare nel manico: estrapolare la domanda di Cantor99 dal contesto in cui è stata posta è un giochino da dilettanti furbetti.

Erasmus "non ciurla nel manico" (né mai l'ha fatto). Non ha "estrapolato" la domanada. Ha citato espressamente il 1° post (quello di apertura del thread ) di Cantor99 dove stava scritto (come ancora sta scritto):

"Cantor99":Considera tutte le terne pitagoriche primitive $(x,y,z)$ (sia $z>y>x$): quante di queste sono tali che $x+z$ o $y+z$ è un cubo perfetto?

[/quote].
Erasmus (che è sì un "dilettante", proprio nel senso "etimologico") è incapace – lo è sempre stato – di "fare il furbetto".[ot]Caro Beppe ... non insinuare più simili ipotesi ... perché, ti assicuro, sei fuori strada.
E perciò mi fanno anche male.
Ciao, ciao.
Alla prossima[/ot]_______

[orsoulx]

Suvvia Erasmus! Non è possibile che ogni tentativo di parlarci debba sempre sempre finire in questo modo.
Una discussione in questo forum evolve nel tempo e il senso di una domanda/risposta non può essere scollegato dal momento in cui è stata fatta. La mia risposta a quanto affermavi, come puoi ben vedere, è nettamente divisa in due parti, come diviso in due parti era il tuo intervento.
Nella prima parte sostenevi che le mie soluzioni non corrispondessero alla richiesta di Cantor99 e io me ne sono assunta tutta la colpa/merito; facendoti però notare che la domanda iniziale era stata modificata il 15/10 alle 20:16, mentre la mia risposta era del 13/10 alle 22:01 e la proposta delle due terne il 15/10 alle 10:25. Dunque ben prima della modifica. OK?

Nella seconda parte mostravi, invece, a Cantor99 una terna pitagorica in cui la somma dei cateti è un cubo. Ora la questione l'avevo posta io: mi ero chiesto se esistessero terne in cui tutte le somme di due lati fossero dei cubi. In risposta leggevo questo (riportato per esteso):

"Cantor99":Che esistano terne tali che $ x+z$ e $ y+z $ sia un cubo è assodato basta unire le precedenti condizioni, quindi prendere due interi $ p $ e $q$ tali che $ p+q=m^3 $ e $ p=2n^3$ con $ m $ dispari. Tipo $(135,352,377)$ che si ottiene per $m=3$ e $n=2$.
Ora non so come provare che $x+y$ può essere un cubo, ci devo pensare

Cosa ti devo dire, leggere una proposta attinente alla sola ultima riga, dimenticando le prime due esula dai miei interessi.
Quel che hai fatto non è estrapolare? In questo caso mi scuso per quanto ho affermato.
La questione resta aperta; non disponendo di prove analitiche, ho verificato che per tutte le terne pitagoriche, fino a lati con dieci cifre, soddisfacenti le prime due condizioni, la terza è falsa; purtroppo questo non è dirimente.
Ciao

[Cantor99]

Mi scuso se ho modificato il post originale ma ogni volta che posto qualcosa qui è per confrontarmi e quindi, se sbaglio (cosa frequente) correggo subito ahah
Saluti

[axpgn]

Ma è meglio non farlo, fai le tue correzioni in un post successivo così non si corre il rischio di perdere il filo del discorso ... se proprio fosse necessario modificare il messaggio allora non cancellare ma barra il testo da eliminare e metti un bel EDIT con le aggiunte e le modifiche ...

[orsoulx]

"Cantor99":Mi scuso se ho modificato il post originale

Non preoccuparti: evita di farlo in futuro, ma per questa volta non è proprio nulla di grave. Erasmus ed io siamo due diversamente giovani (più di un secolo e mezzo in due) e spesso non ci capiamo bene. Ma poi passa e, in fondo, ci vogliamo bene.
Ciao