[Teoria dei numeri] Problema di interi
Sia $n>2$ e siano $x,y$ soluzioni razionali "positive" dell'equazione $1-4x^n=y^2$, supponiamo che esista $p \in NN^{\ast}$ tale che $p^2x \in ZZ$ e $(p^2x,p)=1$. Dimostrare che $p^ny$ non è intero.
Risposte
Ma non è $(p^2x,p)=p$?
A me viene p = 1
Per cui x e y sono interi, n è dispari(non esistono due quadrati consecutivi) e x è negativo
E il problema diventa dimostrare che non esistono soluzioni intere all'equazione
$1 - 4 x^(2k+1) = y^2 $
Con k intero positivo
Poi mi sono bloccato sull'equazione, fino a lí è corretto??
Per cui x e y sono interi, n è dispari(non esistono due quadrati consecutivi) e x è negativo
E il problema diventa dimostrare che non esistono soluzioni intere all'equazione
$1 - 4 x^(2k+1) = y^2 $
Con k intero positivo
Poi mi sono bloccato sull'equazione, fino a lí è corretto??
@.Ruben.
Vabbe magari razionale(devo ammettere che la traccia è problematica) si può intendere "non irrazionale"
D'altronde $ NN \in QQ$
Ovviamente la tua obiezione è comunque giusta, sto cercando di "salvare" la traccia
D'altronde $ NN \in QQ$
Ovviamente la tua obiezione è comunque giusta, sto cercando di "salvare" la traccia
Cercherò di dare delle risposte.
Per ipotesi le soluzioni sono razionali positive, questo implicitamente dice che non possono essere intere poiché si avrebbe $1-4x^n=y^2<0$, assurdo, inoltre $(p^2x,p)=1$ e non necessariamente $p$ (vero se $x$ fosse intero).
Per ipotesi le soluzioni sono razionali positive, questo implicitamente dice che non possono essere intere poiché si avrebbe $1-4x^n=y^2<0$, assurdo, inoltre $(p^2x,p)=1$ e non necessariamente $p$ (vero se $x$ fosse intero).
Hai ragione. Scusa per la confusione.
Provo a rimediare(almeno spero)
Sia $p^2x=r$
$x=r/p^2$
da cui $MCD(r, p) = 1$
sostituendo nell'equazione ottengo
$1-4(r/p^2)^n=y^2$
$ p^(2n)-4r^n=y^2p^(2n) $
$ p^(2n)-4r^n=(y p^n)^2 $
Domani provo a ricavarne qualcosa, fin ora è corretto?
Sia $p^2x=r$
$x=r/p^2$
da cui $MCD(r, p) = 1$
sostituendo nell'equazione ottengo
$1-4(r/p^2)^n=y^2$
$ p^(2n)-4r^n=y^2p^(2n) $
$ p^(2n)-4r^n=(y p^n)^2 $
Domani provo a ricavarne qualcosa, fin ora è corretto?
Sì
Hint 1:
Hint 2:
Hint 1:
Hint 2:
C'è quel 4 come coefficiente di $r^n$ che mi impedisce di usare Fermat-Wiles "com'e"
Provo a ragionarci su e vedo che succede
Provo a ragionarci su e vedo che succede
Non essere discriminante nei confronti di quel povero -4 se non ci fosse sarebbe un problema...
C'è qualcosa di importante che mi sfugge....
Qualcuno ha qualche idea??
Qualcuno ha qualche idea??
Ancora niente?
Quel poco che ho ricavato è:
$ p^(2n) - (y p^n)^2 = 4 r^n $
Il primo membro non deve essere divisibile per p poichè
$MCD(r, p)= 1$
Quindi $MCD(y p^n, p)=1 $
Se y dipende da n allora scrivo
$y = h/p^n $ e $MCD(h, p) = 1$
altrimenti non so come si possa fare, ho provato con i residui quadratici del 4 ma non mi portano quasi a niente..
Potresti spiegare meglio quel fatto del -4 ??
$ p^(2n) - (y p^n)^2 = 4 r^n $
Il primo membro non deve essere divisibile per p poichè
$MCD(r, p)= 1$
Quindi $MCD(y p^n, p)=1 $
Se y dipende da n allora scrivo
$y = h/p^n $ e $MCD(h, p) = 1$
altrimenti non so come si possa fare, ho provato con i residui quadratici del 4 ma non mi portano quasi a niente..
Potresti spiegare meglio quel fatto del -4 ??
In un mio precedente post ti ho detto di non essere "discriminante" nei confronti di quel povero -4
Quel 4 non mi consente di portare l'equazione alla forma
$x^n + y^n = z^n$
Anche se p fosse pari e dividessi per 4 verrebbe qualcosa di poco utile, che non posso ricondurre all'equazione di Fermat
$x^n + y^n = z^n$
Anche se p fosse pari e dividessi per 4 verrebbe qualcosa di poco utile, che non posso ricondurre all'equazione di Fermat
Intendi discriminante nel significato matematico?
Boh chi lo sa?!
Non ci sarei mai arrivato. Molto bella.
Mi venne in mente al liceo (ah...bei tempi) mentre cercavo di dimostrare l'UTF con metodi di algebra elementare.