[Teoria dei numeri] Problema di interi

dan952
Sia $n>2$ e siano $x,y$ soluzioni razionali "positive" dell'equazione $1-4x^n=y^2$, supponiamo che esista $p \in NN^{\ast}$ tale che $p^2x \in ZZ$ e $(p^2x,p)=1$. Dimostrare che $p^ny$ non è intero.

Risposte
Pachisi
Ma non è $(p^2x,p)=p$?

.Ruben.17
A me viene p = 1
Per cui x e y sono interi, n è dispari(non esistono due quadrati consecutivi) e x è negativo

E il problema diventa dimostrare che non esistono soluzioni intere all'equazione
$1 - 4 x^(2k+1) = y^2 $
Con k intero positivo

Poi mi sono bloccato sull'equazione, fino a lí è corretto??

Pachisi
@.Ruben.

.Ruben.17
Vabbe magari razionale(devo ammettere che la traccia è problematica) si può intendere "non irrazionale"
D'altronde $ NN \in QQ$

Ovviamente la tua obiezione è comunque giusta, sto cercando di "salvare" la traccia

dan952
Cercherò di dare delle risposte.
Per ipotesi le soluzioni sono razionali positive, questo implicitamente dice che non possono essere intere poiché si avrebbe $1-4x^n=y^2<0$, assurdo, inoltre $(p^2x,p)=1$ e non necessariamente $p$ (vero se $x$ fosse intero).

Pachisi
Hai ragione. Scusa per la confusione.

.Ruben.17
Provo a rimediare(almeno spero)

Sia $p^2x=r$

$x=r/p^2$
da cui $MCD(r, p) = 1$

sostituendo nell'equazione ottengo
$1-4(r/p^2)^n=y^2$

$ p^(2n)-4r^n=y^2p^(2n) $
$ p^(2n)-4r^n=(y p^n)^2 $
Domani provo a ricavarne qualcosa, fin ora è corretto?

dan952

Hint 1:

Hint 2:

.Ruben.17
C'è quel 4 come coefficiente di $r^n$ che mi impedisce di usare Fermat-Wiles "com'e"
Provo a ragionarci su e vedo che succede

dan952
Non essere discriminante nei confronti di quel povero -4 se non ci fosse sarebbe un problema...

.Ruben.17
C'è qualcosa di importante che mi sfugge....
Qualcuno ha qualche idea??

dan952
Ancora niente?

.Ruben.17
Quel poco che ho ricavato è:

$ p^(2n) - (y p^n)^2 = 4 r^n $

Il primo membro non deve essere divisibile per p poichè
$MCD(r, p)= 1$

Quindi $MCD(y p^n, p)=1 $

Se y dipende da n allora scrivo
$y = h/p^n $ e $MCD(h, p) = 1$

altrimenti non so come si possa fare, ho provato con i residui quadratici del 4 ma non mi portano quasi a niente..

Potresti spiegare meglio quel fatto del -4 ??

dan952
In un mio precedente post ti ho detto di non essere "discriminante" nei confronti di quel povero -4

.Ruben.17
Quel 4 non mi consente di portare l'equazione alla forma
$x^n + y^n = z^n$

Anche se p fosse pari e dividessi per 4 verrebbe qualcosa di poco utile, che non posso ricondurre all'equazione di Fermat

.Ruben.17
Intendi discriminante nel significato matematico?

dan952
Boh chi lo sa?!

dan952

Pachisi
Non ci sarei mai arrivato. Molto bella.

dan952
Mi venne in mente al liceo (ah...bei tempi) mentre cercavo di dimostrare l'UTF con metodi di algebra elementare.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.