[Teoria dei numeri] Numeri di Fermat

[dan952]

Dimostrare che dato un numero pari $a$ e un primo $p$ che divide $a^{2^n}+1$ allora $p$ è della forma $2^{n+1}k+1$ per qualche naturale $k$.

Dimostrare che $2^{2^5}+1$ non è primo.

[Erasmus_First]

"dan95":Dimostrare che dato un numero pari $a$ e un primo $p$ che divide $a^{2^n}+1$ allora $p$ è della forma $2^{n+1}k+1$ per qualche naturale $k$.

Credevo d aver trovato un esempio in cui la proprietà non era vera. Ma avevo sbagliato i calcoli!
Ammetto di non essere (per ora) in grado di dimostrare quanto richiesto.

"dan95":Dimostrare che $2^{2^5}+1$ non è primo.

Eeeh ,,, ma l'ha già fatto Eulero !
$2^{2^5}+1 = 4294967297 = 641*6700417$
–––––

[Erasmus_First]

Credevo di essere abbastanza "erudito" sui numeri di Fermat ...
Ma la dimostrazione richiusta da dan95 non lo so fare!

Avanti, allora, qualcun altro!

[axpgn/Alex: preferisci che ti INVOCHI o che ti EVOCHI? ]
E se nessuno raccoglie, di grazia, dan95, svelaci queta dimosrtraziione!
______

[dan952]

Hint:

Il piccolo Fermat basta e avanza...

[dan952]

My solution

Sia $s$ il più piccolo intero positivo tale che
$$2^s \equiv 1 \mod p$$
Per il piccolo teorema di Fermat risulta che $s \leq p-1$, inoltre sappiamo che
$$2^{2^{n+1}} \equiv 1 \mod p$$
Da cui si deduce che $s| 2^{n+1}$, infatti se per assurdo esiste $0 $$2^{r} \equiv 1 \mod p$$
contro la minimalità di $s$. Dunque $s=2^{m}$ per qualche $m$, d'altra parte
$$2^{2^n} \equiv -1 \mod p$$
quindi $2^{n}

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