Teoria dei numeri

[giulylanza06]

Trovare le soluzioni intere dell’equazione $n^5+n^4+n^3+n^2+n+1=k^2$

[axpgn]

Dato che il membro di sinistra equivale a $(n^6-1)/(n-1)$ e ponendo $n-1=d$ e $n^3=p$ possiamo riscrivela così $(p^2-1)/d=k^2$ da cui $p^2-dk^2=1$ che è un'equazione di Pell; perciò le soluzioni sono quelle dell'equazione di Pell.

Cordialmente, Alex

[dan952]

E se $n-1$ è un quadrato perfetto?

[axpgn]

Non è un problema mio ...
Non so neanche come si risolvono le equazioni di Pell ...
Sei tu lo studente ...
Vai avanti tu, adesso ...

Cordialmente, Alex

[giulylanza06]

aiuti nella risoluzione di un'equazione di Pell?

[axpgn]

Wikipedia ...

[dan952]

"axpgn":Non è un problema mio ...
Non so neanche come si risolvono le equazioni di Pell ...
Sei tu lo studente ...
Vai avanti tu, adesso ...

Cordialmente, Alex

Comunque non credo che Pell sia la strada giusta, fattorizzando si ha $(n^3+1)(n^2+n+1)=k^2$ i due fattori sono coprimi perché $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$, $(n+1,n^2+n+1)=1$ e $(n^2-n+1,n^2+n+1)=1$, infatti la loro differenza è $2n$ quindi il loro MCD divide 2 o 1, tuttavia 2 non può essere poiché se $n^3+1$ è pari non può esserlo anche $n^2+n+1$ quindi $(n^3+1,n^2+n+1)=1$ implica che entrambi devono essere dei quadrati perfetti...to be continued

[dan952]

Quindi possiamo scrivere
$n^3+1=h^2$, Eulero dimostrò che le uniche due soluzioni di questa equazione erano $h=1$ e $n=0$, $h=3$ e $n=2$, nel nostro caso l'unica che funziona è $n=0$ perché sostituendo all'altro fattore $n^2+n+1$ viene 1 che è un quadrato perfetto, dunque mi sento di dire che l'unica soluzione è quella banale $n=0$ e $k=1$

[giulylanza06]

Il problema è che anche la coppia <-1;0> verifica l'equazione e anche la condizione sopra nominata. Non penso Eulero si sbagliasse comunque quindi o c'è un errore in quello che ricordi su Eulero o (più probabilmente), non ho capito e sto sbagliando io.

[@melia]

Probabilmente Eulero parlava di numeri naturali.

[giulylanza06]

Ho provato a guardare l'equazione $ n^3+1=k^2 $ facendo dei banalissimi alcoli si ha che x= $root(3)(y^2-1)$ quindi un quadrato meno uno da un cubo e viceversa un cubo più uno da un quadrato. Si possono trarre spunti?
Scusate la stanchezza, ma mi sono appena resa conto di aver detto una cavolata, la soluzione è banale, se eulero palava solo di numeri naturali, allora bisogna verificare che ponendo numeri negativi al posto di n, l'equazione sia comunque verificata.
In ogni caso il numero da scegliere deve essere strettamente minore di -2 perchè un quadrato non può essere negativo, quindi l'unico numero da provare è il -1 che in effetti funziona.

[axpgn]

Beh, $x=2$ e $y=3$ funziona ...

[giulylanza06]

Si ma non funziona poi nella seconda condizione ($n^{2}+n+1$) e in effetti neanche nell'equazione iniziale.
Posto che Eulero parlava solo di numeri naturali e scartata la coppia 2;3 si prova mettendo il -1 al posto della n, unico numero accettabile per non rendere un quadrato negativo, quindi le uniche due soluzioni sono 0;1 e -1;0
Sbaglio?

[dan952]

È giusto è giusto, è stata una mia dimenticanza non scrivere la soluzione con -1

[dr00ster]

E se invece l'equazione di partenza fosse $n^2+n+1=k^2$?
Verifico sperimentalmente che le soluzioni intere sono $n=-1$;$k=+-1$ e $n=0$;$k=+-1$...
Qualche abbozzo di dimostrazione?

[orsoulx]

$ n^2+n+1=k^2 \rightarrow (n+1/2)^2+3/4=k^2 \rightarrow 4k^2-(2n+1)^2=3 $ che ponendo $ 2k=X $, $2n+1=Y$ diventa $ X^2-Y^2=3 $ che ammette come soluzioni intere solo $ X=+-2 $, $ Y=+-1 $. Non vi sono altre soluzioni oltre quelle che hai indicato.
Ciao
B.

[dr00ster]

Perfetto e velocissimo
Bravo