Teoremi su segmenti concorrenti di quadrilateri

[robbstark1]

Volevo proporre dei teoremi di geometria che trovo piuttosto impegnativi. Questi hanno tutti in comune il fatto che chiedono di dimostrare che certi segmenti si intersecano in dati punti.
Comincio col primo, di cui ho già una dimostrazione:

Sia ABCD un quadrilatero, E, F, G e H i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA. Siano M ed N i punti medi delle diagonali AC e BD.
Dimostrare che EG ed FH si intersecano sul punto medio di MN.

[Sk_Anonymous]

solo un(a domanda) hint

Quanti e quali parallelogrammi vengono definiti dai punti medi?

[Pachisi]

Ci provo

Sia $P$ il punto medio di $MN$.
Essendo $G$ e $M$ i punti medi di $CD$ e $AC$, rispettivamente, abbiamo $GM$ parallelo a $DA$. In modo simile, $NE$ è parallelo a $DA$. Quindi, $GM$ è parallelo a $NE$. In modo simile, vediamo che $ME$ è parallelo a $GN$. Quindi, $GMEN$ è un parallelogramma. Quindi, le diagonali $GE$ e $MN$ si bisecano. Allora, $GE$ passa per $P$, il punto medio di $MN$.
In modo analogo, vediamo che $HMFN$ è un parallelogramma. Allora, le diagonali $HF$ e $MN$ si bisecano. Quindi, anche $HF$ passa per $P$.
Allora, $GE$ e $HF$ si intersecano in $P$, il punto medio di $MN$.

[robbstark1]

La mia dimostrazione è sostanzialmente uguale a quella di Pachisi, solo che per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma avevo usato il fatto che due lati opposti sono paralleli e uguali.

Rilancio con il seguente teorema che invece non sono ancora riuscito a dimostrare per via sintetica, nemmeno facendo uso del teorema appena dimostrato:
Siano ancora ABCD un quadrilatero, M ed N i punti medi delle diagonali AC e BD. Siano E il punto d'incontro delle rette BC e DA, F il punto d'incontro delle rette AB e CD. Dimostrare che MN interseca EF nel suo punto medio.

[Pachisi]

Forse può funzionare questo

Visto che non siamo interessati a distanze e/o ampiezze di angoli, possiamo fare un'affinità. Mandiamo il quadrilatero $ABCD$ nel quadrilatero $A'B'C'D'$, tale che $A'(0,0)$, $B'(0,1)$, $C'(1,0)$ e $D'(a,b)$. Facendo i calcoli (che non ho fatto) dovrebbe venire.

[robbstark1]

Immagino funzioni, non ho fatto nemmeno io i calcoli.
Ero più interessato ad una soluzione per via sintetica, cioè senza ricorrere a sistemi di coordinate, calcolo vettoriale e trigonometria, ma non ho avuto più tempo di pensarci ultimamente.

[Sk_Anonymous]

Ci sono diversi modi per provare il risultato per via sintetica.

[giammaria2]

Per il primo problema aggiungo un'altra soluzione, basata sulla fisica.

In ciascun vertice ci sia una stessa massa $m$. Per trovare il baricentro $O$ della figura possiamo fare uno dei seguenti ragionamenti:
1) in $E$ c'è il baricentro di $A,B$ ed in $G$ quello di $C,D$: quindi $O$ è il punto medio di $EG$;
2) in $H$ c'è il baricentro di $A,D$ ed in $F$ quello di $B,C$: quindi $O$ è il punto medio di $HF$;
3) in $M$ c'è il baricentro di $A,C$ ed in $N$ quello di $B,D$: quindi $O$ è il punto medio di $MN$.

Il baricentro di una figura è unico, quindi quei tre punti medi devono coincidere.

[Sk_Anonymous]

Due soluzioni geometriche si trovano qui:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... xplanation

Ma ce n'è almeno una terza che devo ritrovare perchè è molto vecchia e non mi ricordo più bene dove stia.

[robbstark1]

Grazie ad entrambi per le risposte.
Apprendo con piacere nuovi teoremi per dimostrare l'allineamento tra punti, come l'inverso del lemma di Euclide e il teorema di Menelao, anche se li trovo piuttosto macchinosi da applicare, soprattutto il secondo è di difficile visualizzazione, ma a volte un po' di fatica in più é necessaria per dimostrare teoremi.

[Sk_Anonymous]

Questa è un po' più "sintetica":

[robbstark1]

Quest'ultima non l'ho capita. Seguo tutto il ragionamento sulle aree, ma non poi non capisco come entrano $I$ e $J$.

[Sk_Anonymous]

Quanto provato per FGE vale ovviamente anche per FGI. Cioé (FGI)=1/4(ABCD).
Pertanto (FGE)=(FGI) siccome E ed I stanno da parte opposta rispetto alla retta FG ...

(FGE)=(FGI) implica che E ed I sono equidistanti da FG.
Siccome stanno da parti opposte, FG passa per il putno medio J di EI

[robbstark1]

Bellissima soluzione, grazie.